【题解】HDU 5970 最大公约数

solution:
网上一堆错解。
考虑 gcd 的性质： g(i+kj,j)=g(i,j)
观察到 m<=666 ，考虑枚举 (i,j) 其中 i<=j 。
记 c(i,j) 表示迭代的次数。不难发现 c(i,j) <=log(j)+1 ，这里有一个下取整很烦，记 g=gcd(i,j) ，枚举 k\in [0,c) ，观察到 $\lfloor (i+cj)\ast j/g^{2}c)\rfloor =\lfloor (i\ast j/g^{2}c)+(c\ast j^2)/(g^2\ast c)\rfloor =\lfloor (i\ast j/g^{2}c)\rfloor +(j/g{)}^2$ 同时 g 是 j 的因数，所以 j 一定时， f’(i) 是以 d * j 为周期的等差数列，可以直接算。（注意首项为 i + k * j 首项，周期应为 c * j）
网上写的特别扯淡，明明 i 和 i+j 相邻两项的差有取整函数根本不能整块加起来的好吧，（不过这个相邻项的差根据我们的推论确实也是周期的）。
时间复杂度 O(Tm^2logm) ，非常卡常 （我的正解被卡了 qwq）。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define pi pair<int,int>
#define fi first
#define se second
using namespace std;
ll f(int i,int j,int &c) {
    while(j) {
        c++;
        int t=i%j;
        i=j;
        j=t;
    }
    return 1ll*c*i*i;
}
ll sum1(ll x) {
    return x*(x+1)/2;
}
signed main() {
//    freopen("data.in","r",stdin); 
//    freopen("own.out","w",stdout);
    int T,n,m,p; scanf("%d",&T);
    while(T--) {
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
        ll res=0;
        for(int i=1;i<=m;i++) {
            for(int j=1;j<=i&&j<=n;j++) {
                int c=0; ll ff=f(j,i,c); // f(j,i)
                //(j + ik) * i / ff
                for(int k=0;k<c;k++) {
                    if(j+k*i>n) break;
                    //等差数列求和啊啊啊 
                    //首项 qwq 
                    //(j + ik) * i / ff
                    ll a0=1ll*(j+k*i)*i/ff;
                    ll d=1ll*c*i*i/ff;  
                    //循环节是 c * i 啊啊啊 
                    ll num=(n-j-k*i)/(c*i)+1;
                    res=(res+a0%p*num%p+num*(num-1)/2%p*d%p)%p;
                }
            }
        }
        printf("%lld\n",res);
    }
}

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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