【题解】Crash的数字表格

反演好难啊 qwq 。

${\sum }_{d=1}^{n}d({\sum }_{i=1}^{n/d}{\sum }_{j=1}^{m/d}i\ast j\ast [\gcd (i,j)==1])$

记 $sum(n,m)={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^{m}i\ast j\ast [\gcd (i,j)==1]$

由定义可知 $sum(n,m)={\sum }_{d=1}^n\mu (d)\ast d^2\ast ({\sum }_{i=1}^{n/d}{\sum }_{j=1}^{m/d}(i\ast j))$

涉及到 1~n 的乘积求和，设 $f(n,m)={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^m(i\ast j)$

显然 $f(n,m)=n\ast (n+1)/2\ast m\ast (m+1)/2$

所以 $sum(n,m)={\sum }_{d=1}^n\mu (d)\ast d^2\ast f(n/d,m/d)$

要求的是 ${\sum }_{d=1}^{n}d\ast sum(n/d,m/d)$

整除分块套整除分块 $O(n^{\frac{2}{3}})$ 的做法呼之欲出（这个 sb 玩意为什么我推了一晚上的 n+sqrt 做法没推出来）。

n+sqrt 做法大概需要一个能够预处理的玩意儿。

回到第二步：${\sum }_{d=1}^{n}d({\sum }_{g=1}^{n/d}\mu (g)\ast g^2\ast f(n/dg,m/dg))$

设 $h(n)={\sum }_{d|n}\mu (d)\ast d^2\ast (n/d)$ ，积性函数可以 O(n) 预处理哈哈哈

直接求 ${\sum }_{T=1}^{n}f(n/T,m/T)\ast h(T)$ 哈哈哈

说明对莫反还是不熟悉 哈哈哈

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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