【题解】CF1097D Makoto and a Blackboard

这道题。。。

不要只拘泥于 期望 dp

从问题的本质入手，发现 $f(n,k)$ 竟然是一个积性函数 ！！！

即 $f(n,k)={\prod }_{p是质数}f(p^t,k)$ （其实这里是利用了期望中独立事件的乘积性质 E(xy) = E(x)E(y) awa ）

这样其实 n 的大小也不重要了

时间复杂度 $O(klo{g}^{2}n)$ （大概）。

#include<bits/stdc++.h>
#define db double 
#define ll long long
using namespace std;
const int Maxn=10005;
const int mod=1e9+7;
ll fpow(ll x,ll y) {
	ll mul(1);
	for(;y;y>>=1) {
		if(y&1) mul=mul*x%mod;
		x=x*x%mod;
	} 
	return mul;
}
ll n,m,K,res=1,dp[65][Maxn],a[Maxn],b[Maxn],inv[Maxn];
int main() {
	scanf("%lld%lld",&n,&K);
	for(int i=0;i<=64;i++) {
		inv[i]=fpow(i,mod-2);
	}
	for(int i=2;i<=n/i;i++) {
		if(n%i==0) {
			a[++m]=i;
			while(n%i==0) {
				n/=i;
				b[m]++;
			}
		}
	}
	if(n>1) {
		a[++m]=n;
		b[m]=1;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		ll tmp=1;
		ll x=a[i],y=b[i];
		for(int j=0;j<=y;j++) {
			dp[j][0]=tmp;
			tmp*=x;
		}
		for(int j=1;j<=K;j++) {
			for(int k=0;k<=y;k++) {
				dp[k][j]=0;
				for(int l=0;l<=k;l++) {
					dp[k][j]=(dp[k][j]+dp[l][j-1])%mod;
				}
				dp[k][j]=dp[k][j]*inv[k+1]%mod;
			}
		}
		res=res*dp[y][K]%mod;
	}
	printf("%lld",res);
}

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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