【题解】[省选联考 2021 A/B 卷] 宝石

sol：
本人绞尽脑汁在想只带一个 log 的算法 （可惜没有想出来）

最后还是只能二分 233 …

核心思想 ： 倍增 + 二分答案。

对于左边部分路径，由于起点是固定的，可以直接倍增搞定。

这时候右边部分路径的起点就是 x （我们通过上一个步骤求出来的答案）

其实左半部分和右半部分的求法本质不同（这个可以自行探究233，因为前者是固定了一个端点呀）

考虑二分答案。这个时候相当于固定了终点，可以反过来求最远的起点，判断两条路径能否拼起来即可。

最后的问题在于如何求出 父亲节点中第一个宝石为 i 的位置 。直接暴力存路径显然空间会爆炸，可以用主席树维护（主席树维护静态区间问题 真香）。

时间复杂度 O(nlogn+qlog^2n) 。原题的值域略小（但是对本解法影响不大）。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int Maxn=2e5+5;
int n,m,q,c,a[Maxn],p[Maxn],num;
int f1[Maxn][20],f2[Maxn][20];
int f[Maxn][20],dep[Maxn];
int lson[Maxn*20],rson[Maxn*20],dian[Maxn*20],tot,rt[Maxn];
vector<int> g[Maxn];
//倍增 + 二分答案 （倍增 + 二分是核心） 
//每次就找 +1 / -1 的点倍增地往上跳
//剩下唯一一个找 pre /suf 的操作，可以用主席树维护
//这样由于二分多一个 log ，时间复杂度 O(nlogn + qlog^2n) 
void build(int &p,int q,int l,int r,int x,int y) {
	p=++tot;
	lson[p]=lson[q];
	rson[p]=rson[q];
	if(l==r) {
		dian[p]=y;
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	if(x<=mid) build(lson[p],lson[q],l,mid,x,y);
	else build(rson[p],rson[q],mid+1,r,x,y);
}
int qry(int p,int l,int r,int x) {
	if(l==r) {
		return dian[p];
	}
	int mid=l+r>>1;
	if(x<=mid) return qry(lson[p],l,mid,x);
	else return qry(rson[p],mid+1,r,x);
}
int lca(int x,int y) {
	if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
	for(int i=19;i>=0;i--) {
		if(dep[f[x][i]]>=dep[y]) x=f[x][i];
	} 
	if(x==y) return x;
	for(int i=19;i>=0;i--) {
		if(f[x][i]!=f[y][i]) {
			x=f[x][i],y=f[y][i];
		}
	}
	return f[x][0];
}
void dfs(int x,int fa) {
	f[x][0]=fa;
	dep[x]=dep[fa]+1;
	for(int i=1;i<20;i++) {
		f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
	}
	build(rt[x],rt[fa],0,c,a[x],x);
	if(a[x]) {
		f1[x][0]=qry(rt[x],0,c,a[x]-1);
		for(int i=1;i<20;i++) {
			f1[x][i]=f1[f1[x][i-1]][i-1];
		}
	}
	if(a[x]<c) {
		f2[x][0]=qry(rt[x],0,c,a[x]+1);
		for(int i=1;i<20;i++) {
			f2[x][i]=f2[f2[x][i-1]][i-1]; 
		}
	}
	for(auto y:g[x]) {
		if(y==fa) continue;
		dfs(y,x);
	}
}
int main() {
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&c);
	for(int i=1;i<=c;i++) {
		int x;
		scanf("%d",&x);
		p[x]=i;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		scanf("%d",&a[i]);
		a[i]=p[a[i]];
	}
	for(int i=1;i<n;i++) {
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		g[u].push_back(v);
		g[v].push_back(u);
	}
	dfs(1,0);
	scanf("%d",&q);
	for(int i=1;i<=q;i++) {
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		int lc=lca(u,v);
		int x=qry(rt[u],0,c,1);
		int tmp=0;
		if(dep[x]>dep[lc]) {
			tmp++;
			for(int j=19;j>=0;j--) {
				if(dep[f2[x][j]]>dep[lc]) {
					x=f2[x][j];
					tmp+=1<<j;
				}
			}
		}
		int l=tmp+1,r=c,ans=tmp;
		while(l<=r) {
			int mid=l+r>>1;
			int x=qry(rt[v],0,c,mid),tot=1;
			if(dep[x]<dep[lc]) {
				r=mid-1;
				continue;
			}
			for(int j=19;j>=0;j--) {
				if(dep[f1[x][j]]>=dep[lc]) {
					x=f1[x][j];
					tot+=1<<j;
				}
			}
			if(tmp+tot>=mid) {
				ans=mid;
				l=mid+1;
			}
			else {
				r=mid-1;
			}
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
}

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
本文链接：https://www.cnblogs.com/cqbzly/p/17530231.html
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