【学习笔记】gcd matrix

考察：基本行列式变换。

1. 用一个数乘行列式的任一列（行），等于用这个数乘此行列式。
2. 交换 A 的第 i 行和第 j 行，行列式的 值变号 。
3. 把行列式的某行（列）的 $k$ 倍加到另一行（列）上，行列式的值不变。

例子 1：

$$\begin{gathered} D=\left|\begin{array}{cccc}3& 2& 2& 2\\ 2& 3& 2& 2\\ 2& 2& 3& 2\\ 2& 2& 2& 3\end{array}\right|分析：各行元素之和为一定数，故累加到 \\ 同一行再提公因数。 \end{gathered}$$

原式= $$\left|\begin{array}{cccc}9& 9& 9& 9\\ 2& 3& 2& 2\\ 2& 2& 3& 2\\ 2& 2& 2& 3\end{array}\right|=9\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 2& 3& 2& 2\\ 2& 2& 3& 2\\ 2& 2& 2& 3\end{array}\right|=9\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right|=9\ast 1=9$$

注意这里对系数的处理（利用对称性创造出均一系数），在很多行列式的问题（数论代数组合数学综合）中都有体现。

行列式求值的基本思想是消成上三角或下三角模型。此时行列式的值为 对角线数的乘积 。

例2：

已知 $A_{i,j}=\gcd (i,j)$ ，求这个行列式的值。

sol：
我们首先断言：

$$A_{i,j}^{\prime }=\{\begin{array}{ll}\varphi (i),& i\mid j\\ 0,& i\nmid j\end{array}$$

考虑这样的消元：在第 $i$ 次消元中，把 $i$ 的倍数行减去第 $i$ 行。

我们考虑前 $i-1$ 行对 $A_{i,j}$ 的贡献。第 $k$ 行对第 $i$ 行有贡献当且仅当 $k\mid i$ ，同时 $A_{k,j}\ne 0$ 当且仅当 $k\mid j$ 。综上可得 $k|\gcd (i,j)$ 。

那么 $A_{i,j}^{\prime }=\gcd (i,j)-{\sum }_{d|\gcd (i,j),d<i}\varphi (d)$

我们知道 ${\sum }_{d|n}\varphi (d)=n$ （顺便捡一下数论的知识，虽然忘得差不多了 qwq） ，所以当 $\gcd (i,j)\ne i$ 时为 0，否则为 $\varphi (i)$ 。

同时我们证明了消元后一定是一个上三角矩阵。答案为 ${\prod }_{i=1}^n\varphi (i)$ 。

总结：本题中的断言是思维难点也是关键点，可以大大简化思维。同时借助数论中的 欧拉函数 完成了证明。

__EOF__

本文作者：仰望星空的蚂蚁
本文链接：https://www.cnblogs.com/cqbzly/p/17530217.html
关于博主：评论和私信会在第一时间回复。或者直接私信我。
版权声明：本博客所有文章除特别声明外，均采用 BY-NC-SA 许可协议。转载请注明出处！
声援博主：如果您觉得文章对您有帮助，可以点击文章右下角【推荐】一下。您的鼓励是博主的最大动力！