【题解】[HNOI2013] 切糕

sol：

比较难的网络流题目。

我们考虑，对于一个 (i,j) 的块拆分成 r 个串联，每个点向前一个连边，容量为 a[r][i][j] 。

那么选择一个点相当于割掉它面前的那条边。

以 v2 为例。假设选了 v2 点，那么 {p1,p2,p3} 是合法的。

为了保证割边在 {p1,p2,p3} 面前的边中，我们添加一条边：

当然 p2 同理也这样添。

当然为了保证正确性，我们还可以反向连 INF 边，这样每条链最多只会断一条边。

最后网络流跑最小割即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int N=45*45*45*5;
const int K=45;
const int M=1e6+5;
//also 这是一个网格图
int n,m,r,d,rt,s,t,a[K][K][K],id[K][K][K];
int lab[N],que[N],cur[N];
int tot,head[M],nxt[M],to[M],cap[M];
int dx[4]={-1,0,1,0},dy[4]={0,1,0,-1};
void add(int u,int v,int w) {
	tot++;
	nxt[tot]=head[u],head[u]=tot,to[tot]=v,cap[tot]=w;
}
bool outside(int x,int y) {
	if(x<1||x>n||y<1||y>m) return 1;
	return 0;
}
bool BFS() {
	for(int i=0;i<=rt;i++) lab[i]=0;
	lab[t]=1;
	int qhead=0,qtail=0;
	que[qtail++]=t;
	while(qhead!=qtail) {
		int u=que[qhead++];
		for(int k=head[u];k;k=nxt[k]) {
			int v=to[k];
			if(cap[k^1]==0||lab[v]>0) {
				continue;
			}
			lab[v]=lab[u]+1;
//			if(v==s) return 1;
			que[qtail++]=v;
		}
	}
	return lab[s]!=0;
}
int flow(int u,int limit) {
	if(u==t) {
		return limit;
	}
	int used=0;
	for(int k=cur[u];k;k=nxt[k]) {
		int v=to[k];
		cur[u]=k;
		if(lab[u]!=lab[v]+1||cap[k]==0) {
			continue;
		}
		int tmp=min(limit-used,cap[k]);
		int ret=flow(v,tmp);
		used+=ret;
		cap[k]-=ret;
		cap[k^1]+=ret;
		if(ret==0||cap[k]==0) {
			cur[u]=nxt[k];
		}
		if(limit==used) break;
	}
	return used;
}
int dinic() {
	int tot=0;
	while(BFS()) {
		for(int i=0;i<=rt;i++) cur[i]=head[i];
		tot+=flow(s,INF);
	}
	return tot;
}
int main() {
//	freopen("data.in","r",stdin);
	scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&r,&d);
	for(int k=1;k<=r;k++) {
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			for(int j=1;j<=m;j++) {
				scanf("%d",&a[k][i][j]);
			}
		}
	}
	tot=1;
	s=rt=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		for(int j=1;j<=m;j++) {
			id[0][i][j]=s;
			for(int k=1;k<=r;k++) {
				id[k][i][j]=++rt;
			}
		}
	}
	t=++rt;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		for(int j=1;j<=m;j++) {
			add(id[r][i][j],t,INF);
			add(t,id[r][i][j],0);
			for(int k=1;k<=r;k++) {
				add(id[k-1][i][j],id[k][i][j],a[k][i][j]);
				add(id[k][i][j],id[k-1][i][j],0);
				for(int l=0;l<4;l++) {
					int ti=i+dx[l],tj=j+dy[l];
					if(outside(ti,tj)) continue;
					add(id[k-1][i][j],id[max(0,k-d-1)][ti][tj],INF);
					add(id[max(0,k-d-1)][ti][tj],id[k-1][i][j],0);
					add(id[min(r,k+d)][ti][tj],id[k][i][j],INF);
					add(id[k][i][j],id[min(r,k+d)][ti][tj],0);
				}
			} 
		}
	}
	printf("%d",dinic());
}

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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