莫比乌斯反演 & 二项式反演

感觉莫比乌斯反演的可操作性不大。

一般地：

${\sum }_{d|n}\mu (d)=[n=1]$ - 公式 1

欧拉反演：

${\sum }_{d|n}\varphi (d)=n$ - 公式 2

例一：求 ${\sum }_{i=1}^n\gcd (i,n)$

sol：原式 = ${\sum }_{j|n}\frac{n}{j}\varphi (j)$ （代入公式 2 即可）

例二：求 ${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^m\gcd (i,j)$

sol：原式 = ${\sum }_{d=1}^n\lfloor \frac{n}{d}\rfloor \lfloor \frac{m}{d}\rfloor \varphi (d)$ （代入公式 2）

现在我们对一次的 gcd 有了一定了解。

考察一些高次结构 ?

第一步反演往往能够想到，而第二步通常需要一些 积性函数预处理 。

例子 ：[国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB

求 ${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^m\text{lcm}(i,j)$ ???

点拨：不难想到 两次整除分块 的做法

进一步思考，能否调换枚举方式 ？

o(n^{3/2}) -> o(n^{1/2})

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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