【题解】DZY Loves Math

sol：
卷积函数求通项 + 莫比乌斯函数 。

我们只需要求到 $g(n)={\sum }_{d|n}f(d)\mu (\frac{n}{d})$

其中 f(d) 表示幂指数的最大值

利用唯一分解定理

$n=p_1^{a_1}\ast p_2^{a_2}...\ast p_k^{a_k}$

设 $A={\max }_{i=1}^k{a}_i$

$d=p_1^{b_1}\ast p_2^{b_2}\ast ...p_k^{b_k}$

观察到 $b_i=a_i$ 或 $b_i=a_i-1$

所以 $f(d)=A$ 或 $f(d)=A-1$

设满足 $a_i=A$ 的个数为 $q$

1. 若 $q=k$ ，那么

$$\begin{gathered} \sum _{f(d)=A}f(d)\mu (\frac{n}{d})=A\ast \sum _{f(d)=A}\mu (\frac{n}{d}) \\ =A\ast \sum _{i=1}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i}\right)(-1{)}^{k-i} \\ =A\ast (\sum _{i=0}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i}\right)(-1{)}^{k-i}-(-1{)}^k) \\ =A\ast (0-(-1{)}^k) \\ =-A\ast (-1{)}^k \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \sum _{f(d)=A-1}f(d)\mu (\frac{n}{d})=(A-1)\ast \sum _{f(d)=A-1}\mu (\frac{n}{d}) \\ =(A-1)\ast (-1{)}^k \end{gathered}$$

所以 $$g(n)=\sum _{d|n}f(d)\mu (\frac{n}{d})=(-1{)}^{k+1}$$

2. 若 $q<k$ ，那么类似地，

$$\sum _{f(d)=A}f(d)\mu (\frac{n}{d})=\sum _{i=1}^q\sum _{j=0}^{k-q}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{q}{i}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-q}{j}\right)(-1{)}^{k-i-j}$$

我们改变求和顺序：

$$\begin{gathered} =\sum _{i=1}^q\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{q}{i}\right)\sum _{j=0}^{k-q}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-q}{j}\right)(-1{)}^{k-i-j} \\ =\sum _{i=1}^q(\genfrac{}{}{0ex}{}{q}{i})\ast 0 \\ =0 \end{gathered}$$

同理，

$$\begin{gathered} \sum _{f(d)=A-1}f(d)\mu (\frac{n}{d})=\sum _{i=0}^{k-q}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-q}{i}\right)(-1{)}^{k-i} \\ =0 \end{gathered}$$

所以 $g(n)=0$

分析出这个妙妙的性质后我们就可以递推求解 $g(n)$ 了 。

比较卡空间。

__EOF__

本文作者：仰望星空的蚂蚁
本文链接：https://www.cnblogs.com/cqbzly/p/17530194.html
关于博主：评论和私信会在第一时间回复。或者直接私信我。
版权声明：本博客所有文章除特别声明外，均采用 BY-NC-SA 许可协议。转载请注明出处！
声援博主：如果您觉得文章对您有帮助，可以点击文章右下角【推荐】一下。您的鼓励是博主的最大动力！