诈骗233

重在积累。

前言

没有直觉，数学家就会像这样一个作家：他只是按语法写诗，但却毫无思想。

$$\sum _{i=1}^{n}i\times [(i,n)=1]=\{\begin{array}{l}1,n=1\\ \frac{n\varphi (n)}{2},n>1\end{array}$$

证明：考虑对于 $(i,n)=1$ 的数两两配对，使之和为 $n$ ，总共有 $\frac{\varphi (n)}{2}$ 对，所以总贡献为 $\frac{n\varphi (n)}{2}$ 。

$$d(xy)=\sum _{i|x}\sum _{j|y}[(i,j)=1]$$

证明：略。

$$\varphi (xy)=\frac{\varphi (x)\varphi (y)}{\varphi ((x,y))}\times (x,y)=\varphi (\text{lcm}(x,y))\times (x,y)$$

证明：略。

举个例子：

$n\le 10^5,m\le 10^9$ 。

$$\begin{gathered} S(n,m)=\sum _{i=1}^m\varphi (ni) \\ =p\sum _{i=1}^m\varphi (qi) \\ =p\sum _{i=1}^m\varphi (\frac{q}{(q,i)})\times \varphi (i)\times (q,i) \\ =p\sum _{i=1}^m\varphi (\frac{q}{(q,i)})\times \varphi (i)\times \sum _{d|(q,i)}\varphi (d) \\ =p\sum _{i=1}^m\varphi (i)\times \sum _{d|(q,i)}\varphi (\frac{q}{(q,i)}\times d) \\ =p\sum _{i=1}^m\varphi (i)\sum _{d|(q,i)}\varphi (\frac{q}{d}) \\ =p\sum _{d|q}\varphi (\frac{q}{d})\sum _{i=1}^{[\frac{m}{d}]}\varphi (di) \\ =p\sum _{d|q}\varphi (\frac{q}{d})S(d,[\frac{m}{d}]) \end{gathered}$$

特别地，当 $n=1$ 时可以用杜教筛求解 ${\sum }_{i=1}^m\varphi (i)$ 。

$n\le 10^{18},k\le 7$ 。

$$\sum _{i=1}^k{P}_i{X}_i=n$$

取 ${\text{lcm}}_{i=1}^k{P}_i$ 打包处理。本题中 ${\text{lcm}}_{i=1}^k{P}_i=S$ 。

${\sum }_{i=1}^k{X}_{i}S+Y_i{P}_i=n$

$n-{\sum }_{i=1}^k{Y}_i{P}_i={\sum }_{i=1}^k{X}_{i}S$

观察到 ${\sum }_{i=1}^k{Y}_i{P}_i\le kS$ ，所以：

记 $F(n)={\sum }_{i=1}^k{Y}_i{P}_i\le kS$

${\sum }_{i=0}^{k}F(n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}S+iS)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{[\frac{n}{S}]-i+k-1}{k-1}\right)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10^9+7)$

$n\le 10^5,a_i\le 10^7$ 。

$$\sum _{i_1|a_1}\sum _{i_2|a_2}...\sum _{i_n|a_n}\varphi (i_1{i}_2...i_n)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10^9+7)$$

数据范围很大，不能硬来。

$$\begin{gathered} \prod _p\sum _{i_1|p^{b_1}}\sum _{i_2|p^{b_2}}...\sum _{i_n|p^{b_n}}\varphi (i_1{i}_2...i_n) \\ =\prod _p(1-\frac{1}{p})\sum _{i_1|p^{b_1}}\sum _{i_2|p^{b_2}}...\sum _{i_n|p^{b_n}}{i}_1{i}_2...i_n+\frac{1}{p} \end{gathered}$$

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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