【题解】最小公倍数计数

给定 $[a,b]$ ，求 $\text{lcm}(i,j)$ 在 $[a,b]$ 中的有序点对 $(i,j)$ 的数量。

$a,b\le 10^{11}$ 。

sol ：

考察 $\text{lcm}(i,j)=n$ 时无序点对 $(i,j)$ 的数量。

233

$$\begin{gathered} \sum _{i|n}\sum _{j|n}[\frac{ij}{(i,j)}=n] \\ =\sum _{k|n}\sum _{i|\frac{n}{k}}\sum _{j|\frac{n}{k}}[(i,j)=1,ij=\frac{n}{k}] \\ =\sum _{k|n}\sum _{i|\frac{n}{k}}[(i,\frac{n}{ik})=1] \\ =\sum _{k|n}\sum _{i|\frac{n}{k}}\sum _{j|(i,\frac{n}{ik})}\mu (j) \\ =\sum _{j|n}\mu (j)\sum _{j|i,i|\frac{n}{j}}\sum _{k|\frac{n}{ij}}1 \\ =\sum _{j^2|n}\mu (j)\sum _{i|\frac{n}{j^2}}\sum _{k|\frac{n}{i{j}^2}}1 \\ =\sum _{j^2|n}\mu (j)\sum _{i|\frac{n}{j^2}}d(\frac{n}{i{j}^2}) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \sum _{k=1}^n\sum _{j^2|k}\mu (j)\sum _{i|\frac{k}{j^2}}d(\frac{k}{i{j}^2}) \\ =\sum _{j^2\le n}\mu (j)\sum _{k=1}^{[\frac{n}{j^2}]}\sum _{i|k}d(i) \\ =\sum _{j^2\le n}\mu (j)\sum _{k=1}^{[\frac{n}{j^2}]}d(k)[\frac{n}{j^{2}k}] \end{gathered}$$

事后来看，其实当时我做这道题的时候并没有抓住它的本质。

好在我们展开一下。

$$\begin{gathered} F(n)=\sum _{i=1}^{n}d(i)[\frac{n}{i}] \\ =\sum _a\sum _b\sum _c[abc\le n] \end{gathered}$$

于是可以转化为经典的三元计数问题。

$$\sum _{j^2\le n}\mu (j)F([\frac{n}{j^2}])$$

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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