【题解】[NOI Online 2022 提高组] 如何正确地排序

说实话没想到三维偏序实在是太。。。

k=2

利用轮换性，不难得到答案。

k=3

记 $g(i,j,k)=a_{k,i}+a_{k,j}$ 。

${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{\sum }_{k=1}^{3}g(i,j,k)-{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{\sum }_{k=1}^{3}g(i,j,k)[g(i,j,k)是中位数]$

关于不等式取等的问题，可以将每个数乘 6 ，这样 两个原来和不相等的数的差距现在至少为 6 ，我们把第 2 行每个数 +1 ，第 3 行每个数 +2 ，就能保证不存在相等的情况。

现在我们来跑二维偏序。跑二维偏序时 只需要记录个数 （用树状数组维护）。

${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{\sum }_{k=1}^{3}g(i,j,k)-{\sum }_{i=1}^n(a_{2,i}-x)\times 2\times {\sum }_{j=1}^n[a_{i,1}-a_{i,2}<a_{j,2}-a_{j,1}且a_{i,2}-a_{i,3}<a_{j,3}-a_{j,2}]$

其中 x 表示在原始的行 - 1 。

k=4

当然你可以写三维偏序（233）

记 $h(i,j,k)$ 表示 $s\ne k$ 的 $g(i,j,s)$ 的中位数。

${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{\sum }_{k=1}^{4}g(i,j,k)-\frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{\sum }_{k=1}^{4}h(i,j,k)$

又因为 $h(i,j,k)={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{\sum }_{k=1}^{3}g(i,j,k)[g(i,j,k)是中位数]$

这不就是 k=3 吗 ？

。。。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define pi pair<ll,ll>
#define fi first
#define se second
using namespace std;
const int N=2e5+5;
int n,m;
ll a[5][N];
ll b[4][N],c[4][N],res,sum;
ll lsh[N],cnt,bit[N];
pi d[N];
struct node{
	ll x,y,z;
	bool operator <(const node &a)const {
		return x<a.x;
	}
}e[N];
void upd(int x,int k) {
	for(int i=x;i<=cnt;i+=i&-i) {
		bit[i]+=k;
	} 
}
ll qry(int x) {
	ll tot=0;
	for(int i=x;i;i-=i&-i) {
		tot+=bit[i];
	}
	return tot;
}
//处理二维偏序 
ll solve() {
	ll res=0;
    int p[4]={0,1,2,3};
	do{
		for(int i=1;i<=3;i++) {
			for(int j=1;j<=n;j++) {
				c[i][j]=b[p[i]][j];
			}
		}
		cnt=0;
		for(int j=1;j<=n;j++) {
			lsh[++cnt]=c[2][j]-c[3][j];
		}
		sort(lsh+1,lsh+1+cnt),cnt=unique(lsh+1,lsh+1+cnt)-lsh-1;
		memset(bit,0,sizeof bit);
		for(int j=1;j<=n;j++) {
			d[j]=make_pair(c[1][j]-c[2][j],c[2][j]-c[3][j]);
		}
		sort(d+1,d+1+n);
		for(int j=1;j<=n;j++) {
			e[j]={c[2][j]-c[1][j],c[3][j]-c[2][j],c[2][j]};
		}
		sort(e+1,e+1+n);
		int it=1;
		for(int j=1;j<=n;j++) {
			while(it<=n&&d[it].fi<e[j].x) {
				d[it].se=lower_bound(lsh+1,lsh+1+cnt,d[it].se)-lsh;
				upd(d[it].se,1);
				it++;
			}
			e[j].y=lower_bound(lsh+1,lsh+1+cnt,e[j].y)-lsh-1;
			res+=(e[j].z-p[2]+1)*qry(e[j].y)*2;
		}
	} while(next_permutation(p+1,p+1+3));
	return res;
}
int main() {
	scanf("%d%d",&m,&n);
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		for(int j=1;j<=n;j++) {
			scanf("%lld",&a[i][j]);
			a[i][j]*=6;
		}
	}
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		for(int j=1;j<=n;j++) {
			res+=a[i][j]*2*n; 
		}
	}
	if(m==2) {
		printf("%lld",res/6);
	}
	else if(m==3) {
		for(int i=1;i<=m;i++) {
			for(int j=1;j<=n;j++) {
				b[i][j]=a[i][j]+i-1;
			}
		}
		printf("%lld",(res-solve())/6);
	} 
	else {
		for(int i=1;i<=m;i++) {
			int cnt=0;
			for(int j=1;j<=m;j++) {
				if(i!=j) {
					cnt++;
					for(int k=1;k<=n;k++) {
						b[cnt][k]=a[j][k]+cnt-1;
					}
				}
			}
			sum+=solve();
		}
		printf("%lld",(res-sum/2)/6);
	}
}

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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