【题解】[SHOI2011] 银行家

我不会网络流

我不会告诉你我把题目读错了

建立二部图模型。

如果第 j 个箱子最终能转移第 i 个人身上，就把左部图的第 i 个点向右部图的第 j 个点连边。

想通这一点后，这道题就是二分图优化建边了。

如果第 i 个人和第 j 个人有交集，那么能转移到第 i 个人的箱子，一定都能转移到第 j 个人那里去。所以第 j 个人向第 i 个人连边。

如果一个箱子是第一次出现，那么从这个人连向这个箱子。

然后从虚拟源点向每个人连容量为 $c_i$ 的边，从每个箱子向虚拟汇点连容量为 $a_j$ 的边，跑最大流就是答案。

这样点数有 $O(n+m)$ 个，边数只有 $O(n^2+m)$ 条。

当然，对于新增加的这个人，我们可以只从它连向有交集的最晚的那个人，（对于每个箱子都是如此），复杂度不变，这样比较好判断交集。

#include<bits/stdc++.h>
#define pi pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int N=5005;
const int M=1e5+5;
int n,m,rt,id[N],id2[N],s,t,lst[N],val[N],lab[N],cur[N];
int tot=1,head[M],nxt[M],to[M],cap[M];
vector<int> g;
queue<int> Q;
void add(int u,int v,int w) {
	tot++;
	nxt[tot]=head[u],head[u]=tot,to[tot]=v,cap[tot]=w;
}
void add_edge(int u,int v,int w) {
	add(u,v,w);
	add(v,u,0);
}
bool BFS() {
	for(int i=0;i<=rt;i++) lab[i]=-1;
	Q.push(t);lab[t]=1;
	while(Q.size()) {
		int u=Q.front(); Q.pop();
		for(int k=head[u];k;k=nxt[k]) {
			int v=to[k];
			if(cap[k^1]>0&&lab[v]==-1) {
				lab[v]=lab[u]+1;
				Q.push(v);
			}
		}
	}
	return lab[s]!=-1;
}
int flow(int u,int limit) {
	if(u==t) return limit;
	int used=0;
	for(int k=cur[u];k;k=nxt[k]) {
		cur[u]=nxt[k];
		int v=to[k];
		if(cap[k]>0&&lab[u]==lab[v]+1) {
			int tmp=min(limit-used,cap[k]);
			int ret=flow(v,tmp);
			used+=ret;
			cap[k]-=ret;
			cap[k^1]+=ret;
			if(used==limit) break;
		}
	}
	return used;
}
int dinic() {
	int res=0;
	while(BFS()) {
		for(int i=0;i<=rt;i++) {
			cur[i]=head[i];
		}
		res+=flow(s,inf);
	}
	return res;
}
int main() {
	scanf("%d%d",&m,&n);
	s=rt=0;
	t=++rt;
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		scanf("%d",&val[i]);
		id[i]=++rt;
		add_edge(id[i],t,val[i]);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		id2[i]=++rt;
		int k; scanf("%d",&k);
		g.clear();
		for(int j=1;j<=k;j++) {
			int x; scanf("%d",&x);
			g.push_back(x);
		}
		int c; scanf("%d",&c);
		add_edge(s,id2[i],c);
		for(auto x:g) {
			if(!lst[x]) {
				lst[x]=i,add_edge(id2[i],id[x],inf);
			}
			else if(lst[x]!=i) {
				add_edge(id2[i],id2[lst[x]],inf),lst[x]=i;
			}
		}
	} 
	printf("%d",dinic());
}

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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