关于树上的三种标号方式

括号序列

原理：对原树进行一次 dfs 遍历，到一个节点就加入一个 左括号 ，再加一个表示节点编号的 辅助点 ，回溯时再加入一个 右括号 。

比如：

构建

void dfs(int u,int topf) {
	val[++cnt]=0;
	c[cnt]=1;
	val[++cnt]=-1; //这个地方插的是节点编号 
	id[u]=cnt;
	for(auto v:g[u]) {
		if(v!=topf) {
			dfs(v,u);
		}
	}
	val[++cnt]=1;
	c[cnt]=1;
}

应用

求树的直径（任意两点的距离等于失配的括号数量）。

可以用线段树来维护。

记 a 表示 ） 的数量， b 表示 （ 的数量。

l1 ：前缀 b-a 最大
l2 ：前缀 a+b 最大
r1 ：后缀 a-b 最大
r2 ：后缀 a+b 最大
max ：两点间最大距离

记左边为 (a1,b1) ，右边为 (a2,b2)

注意到 min ， max 运算有时候可以拆开，以达到分离运算的目的。

$$\begin{gathered} a_1+b_1+a_2+b_2-2\min (b_1,a_2) \\ =\max ((a_1-b_1)+(a_2+b_2),(a_1+b_1)+(b_2-a_2)) \\ =\max (l.r_1+r.l_2,l.r_2+r.l_1) \end{gathered}$$

l1 不难维护，因为 a1,b1 是定值，只需要最大化 (b1+b2-a1-a2) 即可。

r1 也只需要最大化 (a1+a2-b1-b2) 。

对于 l2 可以用上面那个公式，只不过 a1, b1 是定值而已。

对于 r2 也可以用上面那个公式，只不过 a2,b2 是定值而已。

最后赋初值，因为加的辅助点不是 （ 或者 ） ，所以 除了 max 都是 0 。

还有两个应用：

1. 求子树的权值和。方法是，在出的点做加法，用出的点的前缀和减去进的点的前缀和
2. 求到根节点的权值和。方法是，在入的点做加法，出的点做减法，答案为入的点的前缀和

其实还可以求两个点之间的路径和。注意补上 LCA 的贡献。

欧拉序列

原理：把 dfs 遍历到的每个点都记录下来。

欧拉序列满足任意两个连续的节点，其中都存在一条边连接两个节点。

比如：

应用：求 LCA 。

不难发现两点的 LCA 就表示深度最浅的那个点。（RMQ 问题）

构建

void dfs(int u,int topf) {
	val[++cnt]=u;
	id[u]=cnt;
	for(auto v:g[u]) {
		if(v!=topf) {
			dfs(v,u);
		}
		val[++cnt]=u;
	}
}

两个应用：

1. 求子树和，还是找到进子树的点和出子树的点，在进子树的点做加法，查询出子树的点的前缀减去入子树的点的前一个的前缀即可
2. 换根操作。它的本质就是从根节点开始 dfs 再回到根节点的路径，我们可以把它看成一个环：

那么以 4 为根的欧拉序列就是从节点为 4 的点开始的 （2n-1） 的序列。

差分技巧

询问一个子树内不同颜色种类。

第一眼 sgt 合并。如果查询子树内 $dep\le de{p}_u+k$ 的点的颜色种类？

首先得到 dfn 序列。然后我们给每个点的权值 +1 。

然后对于两个 dfn 相邻的颜色相同的点，在 lca 处 -1 。

最后查询子树和。

对于 $dep\le de{p}_u+k$ 的限制，可以用 可持久化线段树 维护。

再用 set 来找 dfn 的前缀后缀即可。

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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