【题解】[ZJOI2011] 看电影

比较意会

考点：古典概型 。

答案是 $\frac{(k+1{)}^{n-1}(k+1-n)}{k^n}$ 。

不妨看成有 $k+1$ 个点构成圆环 。每个人选任意位置坐下的方案为 $(k+1{)}^n$ 。

注意到在环上只考虑这 n 个不同人的相对位置，所以 n 个人同时顺时针挪动 k 单位位置属于同一等价类。

例如，n=3, k=4 时 3 个人的座位为 {1,2,5} ，那么顺时针挪动 1 个单位后的 {2,3,1} 属于同一种方案。

根据 Burnside 引理，我们只需要找到不动点的数目，当 $k=0$ 时为 $(k+1{)}^n$ ，$k\ne 0$ 时不存在不动点。

所以这部分共有 $\frac{(k+1{)}^n}{k+1}=(k+1{)}^{n-1}$ 种。

现在挪位后 可以保证每个人都能找到位置坐 ，剩下 $(k+1-n)$ 个位置没有人坐。任选一个位置将环断开，此时 n 个人构成一个合法方案。

所以答案同上、、

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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