【题解】[HNOI2012] 双十字

这题呢，暴露出来一个问题，就是 我对暴力数据结构的掌控力还是不强

导致最后手忙脚乱还是没调出来。（当然思维上也有一些问题，有点想复杂了）

第一种做法，树状数组。

$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^n\sum _{j=i}^n\sum _{k=j}^n{d}_i \\ =\sum _{i=1}^n{d}_i\frac{(n-i+1)(n-i+2)}{2} \\ =\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n((n^2+3n+2)\times d_i-(2n+3)\times i\times d_i+i^2\times d_i) \end{gathered}$$

分别维护 $d_i,i\times d_i,i^2\times d_i$ 的前缀和即可。

第二种做法，线段树。

第一种维护方式，分别维护两个线段树，表示 $a_i,i\times a_i$ 的区间和。

第二种维护方式，用等差数列来维护。（考场上这个做法写 wa 了，调了半天）

这里可能要分讨一下。

我不太推荐线段树的写法，因为空间消耗比较大，

失之毫厘，差之千里。

#include<bits/stdc++.h>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long
using namespace std;
const int N=4e6+5;
const int mod=1e9+9;
//树状数组 ？？？ 
//区间修改 + 区间的前缀和的前缀和 
int R,C,n,vis[N],le[N],ri[N],len[N];
ll bit1[N],bit2[N],bit3[N],inv2=500000005,res;
vector<pair<int,int>> op;
void Mod(ll &x,ll y) {
	x=(x+y)%mod;
}
int has(int x,int y) {
	return (x-1)*C+y;
}
void add(int x,ll y) {
	for(int i=x;i<=C;i+=i&-i) {
		Mod(bit1[i],y);
		Mod(bit2[i],x*y%mod);
		Mod(bit3[i],x*y%mod*x%mod);
	}
}
ll qry(int x) {
	ll tmp1(0),tmp2(0),tmp3(0);
	for(int i=x;i;i-=i&-i) {
		Mod(tmp1,bit1[i]);
		Mod(tmp2,bit2[i]);
		Mod(tmp3,bit3[i]);
	}
	return inv2*((1ll*x*x+3*x+2)%mod*tmp1%mod-(2*x+3)*tmp2%mod+tmp3)%mod;
}
ll solve(int c,int l,int r) {
	if(l>r) return 0;
	ll tot=0;
	for(int i=l;i<=r;i++) {
		len[i]=min(le[has(i,c)],ri[has(i,c)]);
		if(len[i]>0) {
			Mod(tot,qry(len[i]-1)*(r-i)%mod);
		}
//		printf("%lld\n",tot);
		if(i-1>=l&&len[i-1]>0) {
			add(1,i-1-l);
			add(len[i-1]+1,-(i-1-l));
			op.push_back(make_pair(len[i-1],i-1-l));
		}
	}
	for(auto t:op) {
		add(1,-t.second);
		add(t.first+1,t.second);
	}
	op.clear();
	return tot;
}
int main() {
	scanf("%d%d",&R,&C);
	for(int i=1;i<=R*C;i++) vis[i]=1;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		int x,y; scanf("%d%d",&x,&y);
		vis[has(x,y)]=0;
	}
	for(int i=1;i<=R;i++) {
		for(int j=1;j<=C;j++) {
			if(vis[has(i,j)]) {
				le[has(i,j)]=(j>1&&vis[has(i,j-1)])?le[has(i,j-1)]+1:0;
			}
		}
		for(int j=C;j>=1;j--) {
			if(vis[has(i,j)]) {
				ri[has(i,j)]=(j<C&&vis[has(i,j+1)])?ri[has(i,j+1)]+1:0;
			}
		}
	}
	for(int j=1;j<=C;j++) {
		int l=inf,r=0;
		for(int i=1;i<=R+1;i++) {
			if(vis[has(i,j)]) {
				l=min(l,i),r=max(r,i);
			}
			else {
				Mod(res,solve(j,l,r));
				l=inf,r=0;
			}
		}
	}
	printf("%lld",(res+mod)%mod);
}

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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