【题解】[SHOI2012] 随机树

概率 / 期望 dp 基础题。

有一个二叉树的背景。

这题有两个值得学习的 trick 。

先看第一问。假设有 $i-1$ 个叶子结点，每个节点的平均深度为 $f_{i-1}$ 。

然后随机选一个节点复制。这个节点的期望深度为 $f_{i-1}$

于是 $f_i=\frac{(i-1)f_{i-1}+f_{i-1}+2}{i}=f_{i-1}+\frac{2}{i}$

再来看第二问。

设 $g[i][j]$ 表示 $i$ 次扩展，最终树的深度 $\ge j$ 的 概率 。

那么树的期望深度 ${\sum }_{i=1}^{n-1}g[n-1][i]$

观察到总方案数为 $(i-1)!$ ，如果左子树进行 $k$ 次 ，右子树进行 $i-k-1$ 次 ，那么 $p=\frac{k!(i-k-1)!\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i-1}{k}\right)}{i!}=\frac{1}{i}$ 。

那么根据概率 / 期望公式，$$g[i][j]=\frac{{\sum }_{k=0}^{i-1}g[k][j]+g[i-k-1][j]-g[k][j]\ast g[i-k-1][j]}{i}$$

时间复杂度 $O(n^3)$ 。

#include<bits/stdc++.h>
#define db double
using namespace std;
const int N=105;
db dp[N],dp2[N][N];
int n,Q;
int main() {
	for(int i=1;i<=100;i++) {
		dp[i]=dp[i-1]+2.0/(i+1);
	}
	for(int i=0;i<=100;i++) dp2[i][0]=1;
	for(int i=1;i<=100;i++) {
		for(int j=1;j<=i;j++) {
			for(int k=0;k<i;k++) {
				dp2[i][j]+=(dp2[k][j-1]+dp2[i-k-1][j-1]-dp2[k][j-1]*dp2[i-k-1][j-1])/i;
			}
		}
	}
	scanf("%d%d",&Q,&n);
	if(Q==1) printf("%lf",dp[n-1]);
	else {
		db res=0;
		for(int i=1;i<=n-1;i++) {
			res+=dp2[n-1][i];
		}
		printf("%lf",res);
	}
}

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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