构造题专练

[THUPC2022 初赛] 造计算机

这是一道很水的构造题

首先我们把一个置换拆分成若干个循环置换的乘积，例如：

讲一下怎么通过循环置换还原成原来那个：

这样的话，上面那一行表示下标，下面那一行表示对应位置上的数。

这道题经过简单分析我们可以发现 m=1 是不可能的，因此很自然而然地想到 m=2 就是答案。

因为每个环之间是独立的，所以我们分别分析。

先来看这个置换：

一个很自然的想法是按（3，2，1）即循环置换的顺序来操作，会很舒服地发现基本所有数都能归位，但最后一步却无论如何也执行不了。

经过简单分析我们发现原因在于 ：

1. 一个非寄存器的位置占据了原本寄存器的位置，导致原本的寄存器无法归位
2. 另一个寄存器没有发挥用处

于是我的解决方案是：我们在做上述操作前，把这两个寄存器和非寄存器的位置先调换一下，然后再用另一个寄存器来操作。最后原来那个寄存器被调换了出来，而另一个寄存器则可以和 n+1 位置调换，也能被调换出来。

此时我们再回看原来的循环置换：

可以发现我完全就是在复制这个置换上的操作，只不过加了少量调整而已。而如果仔细观察的话，会发现我操作的位置其实就是这个循环置换的首尾，所以其实并不难寻找。

总结：这道题我主要是突然有了灵感，想到在循环置换的形式上做文章，最后得到了合适的构造方案。

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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