【学习笔记】简单dp

可能并不简单

感谢 C202044zxy 学长精心准备的课件与精彩的讲解 。

治疗计划

• 注意 dp 的维度意识
• 我们本能地以时间为维度进行 dp ，然而难以为继
• 从规划前缀这一维度入手，$d{p}_i$ 表示将 $[1,r_i]$ 的人全部治愈的最小花费
• 我们本能地按 $r_i$ 排序，对于 $j<i$ 的情况，按照 $T_i<T_j$ 和 $T_i>T_j$ 分类讨论可以得到一个很合理的转移式：
• $d{p}_i=d{p}_j+c_i(r_j-l_i+1\ge |T_i-T_j|)$
• 这样 $O(n^2)$ 的 $dp$ 会得到 0pts 的好成绩 ！
• 原因在于我们没有意识到 $j>i$ 时也能转移，画图表明其转移式毋宁相同
• 所以 dp 阶段并不显然，因为可能出现曲线救国（时间在起影响）
• 分析转移方程的特殊性质，想到最短路优化（拆绝对值的trick就不说了）
• 时间复杂度 O(mlogm) （为出题人点赞！）

Lanterns

• 这题也好难啊
• 本题难在状态设计 我会套路！
• 最基本的状态为 $d{p}_{i,j}$ 表示处理完 $[1,i]$ 的灯笼后最长前缀为 $j$ 是否可行
• 这样状态数 $O(n^2)$
• 问题在于我们没有意识到 dp 值也能用来描述维度
• 设 $d{p}_i$ 表示处理完 $[1,i]$ 的灯笼后能覆盖到的最长前缀
• 然后又是分类讨论 。注意抓子问题即可 。（咕咕咕

Favorite Game

• 确实是简单 dp ，但是 cf 评分 3300 一定不简单
• 这题涉及维度好多，但是富有经验的 oier 不包括我 会写出基本的 dp
• $dp[S][i][j]$ 表示经过传送门集合为 S ，当前在地点 i ，做了 j 个任务的最少时间
• 这个看似很笨的 dp 其实包含了所有维度，时间复杂度 $2^{14}\times 100^3$
• 如果在传送门，则不关心位置，如果在地标，则不关心时间
• 这启示我们对 dp 降维
• 设 f[S][i] 表示当前在传送门，完成 i 个任务的最小时间，g[S][i] 表示当前在第 i 个地标，完成的最大任务数 。
• 我们就能通过类似分类讨论的方法给 dp 降维 。 时间复杂度 $2^{14}\times 100^2$

Group Projects

• 这题真的不难 但是我真的卡了好久
• 朴素做法是，dp[i][j][k] 表示前 i 个数，有 j 组没有最大值，最小值和为 k 的方案数
• 这样状态数 $O(n^{3}m)$ 原地爆炸
• 毋宁想到用 $k\le 1000$ 来优化
• 但是毋宁我的做法中 k 会远超过给定的 1000
• 也是合当该遭此劫， 竟然连一点 dp 技巧都没有积累到
• 我们假设 a[i] 是当前的最大值，算出此时的不和谐度之和，该维满足 <=1000
• 最终状态数 $O(n^{2}m)$

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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