【学习笔记】数论思维题

其实是做题做崩了

循环小数

• 巧妙数论题
• 设循环节长度为$l$，不循环部分长为$c$
• 因为$b$是约分后的结果
• 所以有$b|10^{l+c}-10^c$
• 写成同余形式$10^{l+c}\equiv 10^c(\mathrm{mod}b)$
• 如果$(10,b)=1$
• 那么$10^l\equiv 1(\mathrm{mod}b)$
• 那么$l=or{d}_b(10)$
• 并且小数没有不循环部分
• 如果$(10,b)\ne 1$
• 设$b=2^{k_2}{5}^{k_5}{b}^{\prime }$
• 那么$10^l\equiv 1(\mathrm{mod}\frac{b}{\gcd (b,10^c)})$
• 注意到不互质的两个数是没有阶的
• 证明：假设$a^b\equiv 1(\mathrm{mod}m)$，设$d=\gcd (a,m)$
• 那么$a^b\equiv 1(\mathrm{mod}d)$
• 因为$a|d$，所以左边同余$0$，显然不成立
• 所以$10^l\equiv 1(\mathrm{mod}{b}^{\prime })$
• 那么$l=or{d}_{b^{\prime }}(10)$
• 显然不循环部分$c=\max (k_2,k_5)$
• 当然，如果$b^{\prime }=1$那么小数没有循环节（换句话说是无理数

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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