【学习笔记】状压dp

Rotate Columns

状压好题！！

设$dp[i][S]$表示考虑前$i$列，$S[j]=1$表示已经钦定了第$j$行的最大值，已经钦定的最大值之和最大

复杂度$O(nm{3}^n)$显然$tle$飞了。

那么按每一列的最大值排序，注意到只有前$n$列会对答案产生贡献。

于是优化到$O(n^2{3}^n)$ 。

但是枚举子集太慢了。考虑对于一种循环，往集合里面一个一个塞数，用临时数组存一下然后贡献到答案里。

复杂度$O(n^3{2}^n)$。可以通过。

tips：小心数据范围诈骗。

Bits And Pieces

仔细想一下发现是套路题

从高到低位处理答案，预处理一下$S$超集的最大，次大位置即可

复杂度$O((n+a)\log a)$

Sandy and Nuts

烦死了烦死了

设$dp[S][u]$表示以$u$为根的方案数，$S$是一个二进制状态

转移为$dp[S][u]=\sum dp[S\oplus S2][u]\times dp[S2][v]$

为了避免算重我们强制$S2$包含特殊点$p$时才能转移

考虑限制条件。事实上我们只关心$LCA$在子树内以及边在子树内的情况。

对于$LCA$：

$1.1$对于限制$(a,b,c)$，如果$c=u$，但是$a,b\in S2$ 那么$LCA(a,b)\ne c$
$1.2$对于限制$(a,b,c)$，如果$c\in S2$，但是$a\notin S2$或者$b\notin S2$那么$LCA(a,b)\ne c$

对于边：
$1.1$对于边$(x,y)$，如果$x\in S2$并且$y\in S-u$或者反之，那么$(x,y)$不可能在树上
$1.2$如果$u$与$i$有边并且$i\in S2$的$i$的个数$\ge 2$，那么不可能有满足条件的树

事实上如果满足条件的$i$的个数等于$1$，那么转移时$S2$的根可以直接求出

复杂度$O(nq{3}^n)$。

事实上可以对$LCA$预处理，复杂度$O(n{3}^n+2^{n}q)$。

Yet Another DAG Problem

我是傻逼

$\text{key observation}:$每个点权值为$[0,n-1]$

把拓扑序拉出来，然后不断对一段后缀$-1$直到不能减为止，然后把后缀最小的那个提到前面来，不难证明每次提到前面来的值小于$n$。

然后枚举子集把一个集合的点全部设为某一权值来转移，复杂度$O(n{3}^n)$显然$tle$飞了。

如果当前点在第$j$轮加进去的话贡献是$j\times v[i]$

那么我们将贡献提前计算，复杂度$O(3^n)$。

Circling Round Treasures

我是傻逼

对于炸弹可以看成价值为无穷小的宝藏。

对于每个宝藏引一条射线，如果和封闭路径边界有奇数个交点就证明在封闭路径围成的内部。

考虑状压记录每个宝藏交点个数的奇偶性，以及当前所处的位置，然后跑最短路即可。

然后射线和线段求交点那个地方比较复杂。射线的斜率取一个比较大的随机数，这样就不会穿过整点了。

Wise Men

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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