【学习笔记】ARC111/ARC112/ARC113

ARC113

String Invasion

sb模拟题

Sky Reflector

我会观察性质！！

显然$\max \{a_i\}\le \min \{b_j\}$ 。否则存在位置不合法。

然后发现这是充要的。我只要把$\{a_i\}$和$\{b_i\}$填进去，剩下的乱填不会造成影响。

答案是${\sum }_{i=1}^K(i^n-(i-1{)}^n)(K-i+1{)}^m$

Rvom and Rsrev

nb贪心题

大分类讨论+模拟+细节一堆。

AC Code

ARC112

Cigar Box

我们称对元素的最后一次操作是必要的。

假设将$L$个元素移到开头，$R$个元素移到结尾。

那么中间那一段还是原序列。

考虑从后往前构造操作序列。当前操作有可能成为必要的，即某一元素的最后一次操作，也有可能被后续操作覆盖。复杂度$O(n^{2}m)$ tle飞了

显然我们对于必要的操作并不关心真正移到开头还是结尾，因此可以把后两维合并，再乘上方案数$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{L+R}{L}\right)$ 。复杂度$O(nm)$

思维啊

AC Code

ARC111

Orientation

简单构造题。

对于$c_u\ne c_v$从大的指向小的

对于$c_u=c_v$需要定向使得$c_u$的导出子图强连通。

显然构建$DFS$树，对于树边从上面指向下面，对于非树边从下面指向上面。

证明考虑给定的图不存在桥，并且从任何点能走到根。

Do you like query problems?

利用期望线性性质算贡献的神仙题（

考虑算$E(t,i)$表示第$t$轮后$a_i$的期望，$P(t,i,v)$表示第$t$轮后$a_i\ge v$的概率

那么$E(t,i)={\sum }_{v=1}^{m-1}P(t,i,v)$[1]

我们称操作是必要的当且仅当：

$1.1$操作的区间包含$i$
$1.2$操作取$\max$且$\ge v$，或操作取$\min$且$<v$

操作必要的概率是$p_i=\frac{i(n-i+1)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2}\right)}\frac{M}{2M+1}$ 。[2]那么至少有一次操作必要并且最后一次操作为取$\max$的概率$P(t,i,v)=[1-(1-p_i{)}^t]\frac{M-v}{M}$

那么考虑每一轮$a_i$对答案的贡献

询问包含$a_i$的概率$q_i=\frac{i(n-i+1)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2}\right)}\frac{1}{2M+1}$

答案是${\sum }_{t=0}^{Q-1}{\sum }_{i=1}^{n}E(t,i)q_i$

按$i$的每一项计算即可。复杂度$O(n\log n)$ 。

[1]利用了期望优秀的拆分性质
[2]这个式子和$v$取值无关

AC Code

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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