【学习笔记】前缀和+差分

「JOISC 2019 Day2」两道料理

我会暴力！！10pts滚粗

我会转化！！记$s{a}_i={\sum }_{j=1}^i{a}_j，s{b}_i={\sum }_{j=1}^i{b}_j$

$x_i=\max \{j|s{a}_i+s{b}_j\le s_i\}，y_i=\max \{j|s{b}_i+s{a}_j\le t_i\}$

$c_i$表示完成$IOI$第$i$个步骤后$JOI$的完成数目

那么$c_i\ge c_{i-1}$，答案是${\sum }_{i=1}^n{p}_i[c_i\le x_i]+{\sum }_{i=1}^m{q}_i[c_{y_i}\ge i]={\sum }_{i=1}^n{p}_i-{\sum }_{i=1}^n{p}_i[c_i\ge x_i+1]+{\sum }_{i=1}^m{q}_i[c_{y_i}\ge i]$

设$d{p}_j$表示完成$JOI$第$j$个步骤的最大评分。转移的本质是对若干段后缀加一个值，然后取前缀$\max$

发现前缀$\max$可以暴力做。维护其差分序列，可以用$set$模拟，具体$(l,x)$表示$l$位置的差分序列是$x$。如果$x<0$那么删掉这个位置，然后让后继的差分$+x$ 。

复杂度$O(n\log n)$ 。

第一步没转化出来就很尴尬

AC Code

Juju and Binary String

巧妙的题目。

将字符串$s$拼成一个环，那么一定存在长度$m$的子段满足条件。因此答案不超过$2$。

证明：设$a_i$表示$[i,i+m-1]$中$1$的数目。记$p$表示原串中$1$的数目，$tot=\frac{pm}{n}$ 。注意到$|a_i-a_{i-1}|\le 1$，因此我们只需要证明$\min (a_i)\le tot\le \max (a_i)$ 。证明考虑${\sum }_{i=1}^n{a}_i=m\times p$。

「EC Final 2018」Exotic … Ancient City

不会不会不会

我会转化！！问题转化为求生成树上$\le w$的边的数目

显然我们只关心$(i,i+1)$层的连通性 并不显然

那么维护大小为$2n$的并查集。递推到下一层时，继承了上一层的连通性，并且若上一层右部图$(u,v)$联通，则下一层左部图$(u,v)$也联通。

看起来很玄学。并查集时设右部图为根。

具体看实现 AC Code

Frequency Problem

结论题。

我会转化！！最优区间的众数$x$一定包含全局众数。

那么枚举另一个众数$y$，可以前缀和优化到$O(na)$ 。

我会优化！！

对于出现次数$\ge \sqrt{n}$的，还是前缀和优化，复杂度$O(n\sqrt{n})$。

对于出现次数$<\sqrt{n}$的，枚举区间里全局众数的出现次数$i$，判断其极大区间是否存在另一个数的出现次数不少于$i$，复杂度$O(n\sqrt{n})$。

这样可以通过Hard Version。

Mobile Phone Network

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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