【学习笔记】 排列组合

Sereja and Intervals

sb数据范围诈骗

Omkar and Akmar

神仙结论题。

双方不需要采取任何策略。

考虑枚举空位，限制是不能两两相邻。容斥+插板法即得：

答案是${\sum }_{i\le \frac{n}{2}}2(2(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{i})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i-1}{i}))(n-i)!$

Balanced Domino Placements

我会转化！！

我会分别计算行和列的方案数，然后乘起来！！

Crypto Lights

我会转化！！

考虑能放置$i$个球的概率。

证明：不妨假设每次放的位置是递增的。那么每种局面的概率相等。

答案是$1+{\sum }_{i=0}^{\frac{n}{k}}\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-ik+i}{i+1}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i+1}\right)}$

Array Beauty

我会转化！！

又来数据范围诈骗

An unavoidable detour for home

合法的$G=(V,E)$应该满足：

$1.1$对于任意$v$存在唯一$(u,v)$满足$d[u]+1=d[v]$
$1.2$对于任意$(u,v)$满足$|d[u]-d[v]|\le 1$

考虑计数。设$g_{i,j,k}$表示当前层有$i$个点，前一层有$j$个度为$2$的点，$k$个度为$3$的点，当前层和上一层的树边和上一层的非树边的方案数。$f_{i,j}$表示$i$所在层有$j$个点方案数。

那么$f_{i,j}={\sum }_{k=1}^{i-j}{f}_{i-j,k}{g}_{j,c_0,c_1}$ ，答案是${\sum }_{i=1}^n{f}_{n,i}{g}_{0,c_0,c_1}$ 。

如果$i\ne 0$那么优先考虑当前层和上一层的树边。

如果$i=0$,$j=0$那么$g_{0,0,k}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{2}\right)g_{0,2,k-3}$

如果$i=0,k=0$那么$g_{0,j,0}=(j-1)!!$

如果$i=0$,$j\ne 0$,$k\ne 0$那么$g_{0,j,k}=(j-1)g_{0,j-2,k}+k{g}_{0,j,k-1}$

复杂度$O(n^3)$。

tips：转移的时机与策略

Top-Notch Insertions

服了。

我会转化！！显然

问题转化为，对于一个初始为$1\sim n$的序列，每次将第$x_i$个数插入到$k_i$位置，求最终序列。

考虑其逆操作。注意到其逆操作插入的位置是单调的，也就是说每次会还原一段后缀，那么我们知道线段树二分出来的这个点是$x_i$，并且将这个点删掉。这样我们就求到了每个$x_i$在最终序列的位置。

设$tot$表示要求$a_i<a_{i+1}$的数目。答案是$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-tot-1}{n}\right)$

AC Code

Paperfolding

我们把若干次翻折后的图形展开，那么得到$2^i\times 2^j$个小矩形，那么把每个小矩形从中间横着切一刀，竖着切一刀，就会得到$(2^i+1)(2^j+1)$个块（中间的折痕是相连的）

答案是$\frac{{\sum }_{i=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)(2^i+1)(2^{n-i}+1)}{2^n}=\frac{2^n+4^n+2\times 3^n}{2^n}$

Separated Number

我会转化！！

设$s(i,k)$表示$i$个数选不超过$k$个的方案数

那么$s(i,k)=2s(i-1,k)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i-1}{k}\right)$ 组合意义nb

答案是${\sum }_{i=1}^{n}10^{i-1}(f(n-i)s(n-1-i,k-2)+a[n-i+1]s(n-i,k-1))$

复杂度$O(\sum n)$

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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