【学习笔记】NOIP模拟赛 13

B. 游戏（game）

solution

随机化算法万岁。。

显然第二问直接拆成$n$个$1$即可。

对于第一问，首先考虑拆成$\{n\}$,$\{1,n-1\},\{2,n-2\}$的情况，这样剩下的方案中答案至少是$4$。

如果$n$是偶数，考虑把$n$拆分成两个质数的和。注意到质数可以看成是均匀分布的，$1\sim n$有$O(\frac{n}{\log n})$个质数，那么考虑随机化算法，因为解是稠密的，可以看作有$\frac{n}{{\log }^{2}n}$组解。如果保证每次随机的是一个质数的话，正确的概率高达$\frac{1}{\log n}$。

如果$n$是奇数，那么拆分出来一个$1$，转化到$n$是偶数的情况。

具体操作是直接从$2$开始枚举质数。

期望复杂度$O(\log n\sqrt{n})$。

// ubsan: undefined
// accoders
#include<bits/stdc++.h>
#include "game.h"
#define fi first
#define se second
#define ll long long
#define pb push_back
using namespace std;
int calc(int x){
	int res=0;
	for(int i=1;i<=x/i;i++){
		if(x%i==0){
			res++;if(x/i!=i)res++;
		}
	}return res;
}
bool check(int x){
	for(int i=2;i<=x/i;i++){
		if(x%i==0)return 0;
	}return 1;
}
pair<map<int,int>,map<int, int>> solve(int n) {
	map<int,int>x{{n,1}},y{{1,n}};int num=calc(n),tmp;
	if(1+calc(n-1)<num)num=1+calc(n-1),x.clear(),x[1]++,x[n-1]++;
	if(num>4){
		if(n%2==1&&check(n-2)){
			num=4,x.clear(),x[2]++,x[n-2]++;
		}
		if(n%2==0){
			for(int i=2;i<=n/2;i++){
				if(check(i)&&check(n-i)){
					num=4,x.clear(),x[i]++,x[n-i]++;
					break;
				}
			}
		}
		
	}
	if(num>5){
		n--;
		for(int i=2;i<=n/2;i++){
			if(check(i)&&check(n-i)){
				num=5,x.clear(),x[i]++,x[n-i]++,x[1]++;
				break;
			}
		}
	}
	return make_pair(x,y);
}

C. QWQ（qwq）

qwq

给出两棵树，每棵树上每个点的父亲编号小于它的编号，将编号两两配对，使得两棵树中每对点的 LCA 的深度（到根点数）的较小值之和最大。依次加入所有点，点数为偶数时输出答案。$n\le 2\times 10^5$

可以发现，一种方案 $S$ 的价值就是

$$\sum _{de{p}_1(i)=de{p}_2(j)}\sum _{(u,v)\in S}[u,v\in T_1(i)][u,v\in T_2(j)]$$

容易猜到这个和式可以取到理论最大值

$$\sum _{de{p}_1(i)=de{p}_2(j)}\lfloor \frac{|T_1(i)\cap T_2(j)|}{2}\rfloor$$

感性理解如何取到上式最大值。考虑从下往上加入每一层的点，如果$(u,v)$在$T1$,$T2$中同时满足联通，那么就把它们配对。

考虑维护这个东西，加入一个点的时候，遍历两棵树中深度相同的祖先，如果$|T_1(i)\cap T_2(j)|$是奇数答案加$1$，然后反转其奇偶性。

时间复杂度$O(n^2)$。可以得到$45pts$。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
using namespace std;
int n,res[2005][2005],dep[2005],dep2[2005],fa[2005],fa2[2005];
int main(){
	freopen("qwq.in","r",stdin); 
	freopen("qwq.out","w",stdout);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	ios::sync_with_stdio(false);int ans=0;res[1][1]=1;
	cin>>n;for(int i=2;i<=n;i++){
		cin>>fa[i]>>fa2[i],dep[i]=dep[fa[i]]+1,dep2[i]=dep2[fa2[i]]+1;
		int x=i,y=i;while(dep[x]>dep2[y])x=fa[x];while(dep[x]<dep2[y])y=fa2[y];
		while(x&&y){
			if(!(res[x][y]^=1))ans++;
			x=fa[x],y=fa2[y];
		}if(i%2==0)cout<<ans<<"\n";
	}
}

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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