【学习笔记】BZOJ4479 吃货jyy

问题等价于，问从$1$出发，经过钦定的$k$条边的欧拉回路的最小长度。

我们考虑数据分治。

如果$k\le 15$，那么设$d{p}_{i,s}$表示当前走到$i$，经过的关键边集合为$s$的最小长度。直接跑$\text{dijkstra}$即可。复杂度$O(n{2}^n\log (n{2}^n))$。

如果$k>15$，那么考虑先把$k$条边加进去，那么最多有$7$个连通块，注意到$Bell(7)<1000$，也就是说直接状压连通性的状态数不会很大，因此设$d{p}_{i,s,k}$表示考虑前$i$条边，连通性为$s$，点的度数奇偶性为$k$的最小长度 。复杂度状态比较稀疏，可以通过。

个人以为这个做法是通不过去的。。。

事实上问题可以转述为：每个点的度数为偶数，并且对于关键点都和$1$联通。

那么每个点有$3$种状态：和$1$相连且度为奇数，和$1$相连且度为偶数，以及与$1$不连通。

转移时考虑从外面拉一个点进来，或者在连通块内连一条边。

可以进行若干剪枝，比如先保证连通性，再保证度数的奇偶性。

复杂度$O(3^n\log (3^n(m+k))+3^n(m+k))$。嗯，现在合理多了

我是调不对代码的joker

#include<bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define ll long long
#define pb push_back
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int n,K,m,f[15];
int dp[4000000],vis[4000005],vis2[15];
priority_queue<pair<int,int>>q;
vector<pair<int,int>>g[15];
struct node{
	int x,y,z;
}e[205],e2[205];
int get(int x,int y){
	return x/f[y]%3;
}
void relax(int u,int x){
	if(dp[u]>x){
		dp[u]=x,q.push({-dp[u],u});
	}
}
int rev(int u,int x){
	if(get(u,x)==1)return u+f[x];
	return u-f[x];
}
bool check(int s){
	for(int i=0;i<n;i++){
		if(get(s,i)==1)return 0;
		if(get(s,i)==0&&vis2[i])return 0;
	}
	return 1;
}
void solve(int u){
	int s=0;for(int i=0;i<n;i++){
    	if(get(u,i))s+=1<<i;
	}
	for(int i=0;i<n;i++){
		if(!get(u,i)){
			int u2=u,ok=0,ff=0;ll w2=0;
			for(auto v:g[i]){
				if(s>>v.fi&1)w2+=v.se,u2=rev(u2,v.fi),ff^=1,ok=1;
			}if(ok){
				relax(u2+(2-ff)*f[i],dp[u]+w2);
				return;
			}
		}
	}
	int ok=1;for(int i=0;i<n;i++)if(vis2[i]&&!get(u,i))ok=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
	    int x=e2[i].x,y=e2[i].y,z=e2[i].z;
	    if(ok&&get(u,x)&&get(u,y)){
	    	relax(rev(rev(u,x),y),dp[u]+z);
		}
		if(get(u,x)&&!get(u,y)){
			relax(rev(u,x)+f[y],dp[u]+z);
		}
		if(get(u,y)&&!get(u,x)){
			relax(rev(u,y)+f[x],dp[u]+z);
		}
	}
	for(int i=1;i<=K;i++){
		int x=e[i].x,y=e[i].y,z=e[i].z;
		if(get(u,x)&&get(u,y)&&ok)relax(rev(rev(u,x),y),dp[u]+z);
	}
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>K;
	for(int i=1;i<=K;i++){
		int x,y,z;
		cin>>x>>y>>z,x--,y--,e[i]={x,y,z},vis2[x]=vis2[y]=1,g[x].pb({y,z}),g[y].pb({x,z});
	}
	cin>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x,y,z;
		cin>>x>>y>>z,x--,y--,e2[i]={x,y,z};
	}
	f[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=f[i-1]*3;
	memset(dp,0x3f,sizeof dp),dp[2]=0;
	q.push({0,2});
	while(q.size()){
		int u=q.top().se;q.pop();if(vis[u])continue;vis[u]=1;
		if(check(u)){
			cout<<dp[u];
			return 0;
		}solve(u);
	}
}

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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