【学习笔记】矩阵树定理

本人数学很菜，建议少看为妙。

$1.1$ 关联矩阵$M$：表示图的矩阵，第$i$列表示第$i$条边。如果第$i$条边的起点是$u$，那么$M_{u,i}=1$；如果第$i$条边的终点是$u$，那么$M_{u,i}=-1$，否则$M_{u,i}=0$。

注意到这个矩阵的列和都是$0$，所以只要知道$n-1$行，就能知道另外一行。因此删去某一行后剩下的矩阵的秩不变。

$1.2$ 定理：对于一个无向连通图，$\text{rank}(M)=n-1$。

这个还是比较容易看的。从列来看的话，将$n-1$条边作为基底，那么任意一条$s\to t$的路径都可以用若干边拼出来；从行来看的话，相当于任取$n-1$个行向量，必定线性相关，可以反证法得到不连通的结论。

显然对于任意一个无向图，有$rank(M)=n-m$，其中$m$表示连通块数目。

$1.3$ 定理：如果一个无向连通图$G$，有$n-1$条边能形成原图当且仅当从$M^{\prime }$种选出这些列拼成一个$n-1$行$n-1$列的矩阵$A$,$|A|\ne 0$。其中$M^{\prime }$是删掉其中一行后的矩阵。

这个怎么看呢，相当于这$n\times (n-1)$的矩阵的$\text{rank}=n-1$时这个图是联通的（因为有$n-1$条边所以恰好是一颗生成树），又因为删除一行后秩不变，所以等价于这$(n-1)\times (n-1)$的矩阵满秩，即$|A|\ne 0$。

$1.4$ 若$|A|\ne 0$，那么$|A|=\pm 1$ 。

可以考虑把删掉的那一行看成根节点，然后把行按拓扑序排序（叶节点排在前面），同时让拓扑序排第$i$行的点对应的那条边排在第$i$列，那么构成了一个对角线全为$\pm 1$的上三角矩阵，因此$|A|=\pm 1$。

$1.5$ 定义无向图的邻接矩阵$G$,$G_{i,j}$表示$i$到$j$的边的权重/条数，且有$G_{i,j}=G_{j,i}$ 。定义无向图的拉普拉斯矩阵$L$，$L=D-G$，其中$D$是由每个点的度数组成的一个对角矩阵。

$1.6$ 定理：对于一个无向图，$M{M}^T=L$

暴力展开即可。

$1.7$ 定理：无向连通图生成树的个数等于$L$的任意一个$n-1$阶主子式的行列式。

可以把按$(i,i)$展开的余子式看成是将$i$节点从图中删去，那么此时的$M$应该是将第$i$行删去，利用$\text{binet-cauthy}$定理将$M^{\prime }{M}^{\prime T}$展开就相当于从中选$n-1$条边求矩阵行列式的平方，如果是一颗生成树那么算出来是$1$否则是$0$，求和就是生成树的个数。

计算行列式复杂度为$O(n^3)$。

推广1：树形图计数

考虑内向树的情形。

此时的关联矩阵$N$为：如果第$i$条边的起点是$u$，那么$N_{u,i}=1$，否则$N_{u,i}=0$。

此时删掉第$i$行相当于求以$i$为内向树根的生成树个数，套路类似的按拓扑序排序后依然能得到对角线全为$1$的结论，因此直接给出结论：$L=M{N}^T=D-G$,其中$D$是每个点出度组成的一个对角矩阵，$G_{i,j}$表示$i$到$j$的有向边数目。以$i$为根的内向生成树的数目为将$L$的第$i$行第$i$列删除后的行列式。

推广2：$BEST$定理

定义两条欧拉回路不同当且仅当经过边的顺序不同，那么对于有向图$G$，记$d_s$表示从$s$出发的出边数目，$T_s$表示以$s$为根的内向树数目，那么以$s$为起点的欧拉回路数目为：

$$F(s)=T_s{d}_s!\prod _{u\ne s}(d_u-1)!$$

怎么来看呢，其实可以把欧拉回路看成$dfs$的过程，那么遍历完子树后自然会走回父节点，可以看出如果我们把除$s$外的节点的出边任意排序的话，那么树边一定是最后遍历的那一条。并且以$u$节点来看，无论过程中怎么走，最后一步都会退回到父亲节点，类比$dfs$的过程，我们知道最终一定会在$s$节点处停下来。

这么说的组合意义确实太抽象了，但是我也不知道纯数学是怎么推的啊？

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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