【学习笔记】CF809E Surprise me!

练习套路的一道题。

首先$\varphi (ij)$怎么拆？这里要用到一个不怎么常见的套路，$\varphi (ij)=\frac{\varphi (i)\varphi (j)\gcd (i,j)}{\varphi (\gcd (i,j))}$。

让我们观察这个式子：${\sum }_{d=1}^n\frac{d}{\varphi (d)}{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n\varphi (i)\varphi (j)[\gcd (i,j)=d]\text{dist(i,j)}$

首先$\varphi (i)\varphi (j)$可以看成两个点权之积，其次后面的艾佛森括号表示的是“恰好”的意思，那么我们可以想到将条件改写成$i,j$均为$d$的倍数。

考察：${\sum }_{d|i}{\sum }_{d|j}\varphi (i)\varphi (j)\text{dist(i,j)}$ 这个式子不就可以在虚树上统计答案吗？

那么我们只需容斥即可。记$g(d)={\sum }_{d|i}{\sum }_{d|j}\varphi (i)\varphi (j)\text{dist(i,j)}$，$f(d)={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n\varphi (i)\varphi (j)[\gcd (i,j)=d]\text{dist(i,j)}$。那么$g(d)={\sum }_{d|d^{\prime }}f(d^{\prime })$，显然可以得到$f(d)={\sum }_{d|d^{\prime }}g(d^{\prime })\mu (\frac{d^{\prime }}{d})$，因此只需计算$g(d)$。

只需把$d$的倍数的点建虚树即可，这里不再赘述。

复杂度$O(n{\log }^{2}n)$。

出题人是bot吧

#include<bits/stdc++.h>
#define pb push_back
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const int N=200005;
int n,a[N],rk[N],dfn[N],son[N],fa[N],num,dep[N],siz[N],tp[N],dis[N];
ll f[N];
vector<int>g[N],g2[N];
ll fpow(ll x,ll y=mod-2){
	ll z(1);
	for(;y;y>>=1){
		if(y&1)z=z*x%mod;
		x=x*x%mod;
	}return z;
}
int Lca(int x,int y){
	int fx=tp[x],fy=tp[y];
	while(fx!=fy){
		if(dep[fx]>dep[fy])x=fa[fx];
		else y=fa[fy];
		fx=tp[x],fy=tp[y];
	}return dep[x]<dep[y]?x:y;
}
void dfs(int u,int topf){
	dfn[u]=++num,fa[u]=topf,siz[u]=1,dep[u]=dep[topf]+1;
	for(auto v:g[u]){
		if(v!=topf){
			dfs(v,u),siz[u]+=siz[v];
			if(siz[v]>siz[son[u]])son[u]=v;
		}
	}
}
void dfs2(int u,int topf){
	tp[u]=topf;
	if(son[u])dfs2(son[u],topf);
	for(auto v:g[u]){
		if(!tp[v]){
			dfs2(v,v);
		}
	}
}
int prime[N],Cnt,mu[N],Vis[N],phi[N];
void init(int n){
	mu[1]=phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!Vis[i])prime[++Cnt]=i,mu[i]=-1,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;j<=Cnt&&prime[j]<=n/i;j++){
			Vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j])mu[i*prime[j]]=-mu[i],phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
			else {
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
				break;
			}
		}
	}
}
int p[N],vis[N],m,cnt,s[N];
vector<int>vec;
bool cmp(int x,int y){
	return dfn[x]<dfn[y];
}
ll S,sum[N],res;
void dfs3(int u,int id){
	sum[u]=0;if(vis[u])sum[u]=(sum[u]+phi[a[u]])%mod;
	for(auto v:g2[u]){
		dfs3(v,id);
		f[id]=(f[id]+2*sum[v]*(S-sum[v])%mod*dis[v]%mod)%mod,sum[u]=(sum[u]+sum[v])%mod;
	}
}
void add(int x,int y){
	if(dfn[x]>dfn[y])swap(x,y);
	g2[x].pb(y),dis[y]=dep[y]-dep[x];
}
int gcd(int x,int y){
	return y==0?x:gcd(y,x%y);
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n,init(n);for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i],rk[a[i]]=i;
	for(int i=1;i<n;i++){
		int x,y;cin>>x>>y,g[x].pb(y),g[y].pb(x);
	}dfs(1,0),dfs2(1,1);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		m=S=0;
		for(int j=i;j<=n;j+=i)p[++m]=rk[j],S=(S+phi[j])%mod,vis[rk[j]]=1,vec.pb(rk[j]);
		s[cnt=1]=1,vec.pb(1);
		sort(p+1,p+1+m,cmp);
		for(int i=1;i<=m;i++){
			if(p[i]==1)continue;
			int u=p[i],v=Lca(u,s[cnt]);
			if(s[cnt]==v)s[++cnt]=u;
			else{
				int lst=0;
				while(dep[s[cnt]]>dep[v]){
					if(lst)add(s[cnt],lst);
					lst=s[cnt--];
				}
				if(s[cnt]==v){
					add(s[cnt],lst),s[++cnt]=u;
				}
				else{
					add(v,lst),s[++cnt]=v,vec.pb(v),s[++cnt]=u;
				}
			}
		}for(int i=1;i<cnt;i++)add(s[i],s[i+1]);
		dfs3(1,i);
		for(int j=0;j<vec.size();j++)vis[vec[j]]=0,g2[vec[j]].clear();vec.clear();
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ll tot=0;
		for(int j=i;j<=n;j+=i){
			tot=(tot+mu[j/i]*f[j]%mod)%mod;
		}
		res=(res+tot*i%mod*fpow(phi[i])%mod)%mod;
	}
	cout<<(res+mod)%mod*fpow(n)%mod*fpow(n-1)%mod;
} 

__EOF__

本文作者：仰望星空的蚂蚁
本文链接：https://www.cnblogs.com/cqbzly/p/17530065.html
关于博主：评论和私信会在第一时间回复。或者直接私信我。
版权声明：本博客所有文章除特别声明外，均采用 BY-NC-SA 许可协议。转载请注明出处！
声援博主：如果您觉得文章对您有帮助，可以点击文章右下角【推荐】一下。您的鼓励是博主的最大动力！