【学习笔记】线性代数

$1.1$ 线性映射 $f:V\mapsto V$ 被称为线性变换。在选定基底后，线性变换总可以表示为矩阵。下文中，我们用$\mathcal{A}$表示线性变换，$\mathcal{A}\alpha$表示$f(\alpha )$。

$1.2$ 定义核$\ker (\mathcal{A})=\{\alpha |\mathcal{A}\alpha =0\}$，像$\text{Im}(\mathcal{A})=\{\mathcal{A}\alpha |\alpha \in \mathcal{V}\}$，显然$\ker (\mathcal{A})$和$\text{Im}(\mathcal{A})$都是$V$的子空间。

$1.3$ 定理：$\text{dim}V=\text{dim}\ker (\mathcal{A})+\text{dim}\text{Im}(\mathcal{A})$。矩阵的$\text{rank}$为极大线性无关向量组的大小，那么$\text{rank}(\mathcal{A})=\text{dim}\text{Im}(\mathcal{A})$，$\text{dim}\ker (\mathcal{A})=n-\text{rank}(\mathcal{A})$。

$1.4$ 不变子空间： 若 $W$ 是 $V$ 的子空间，满足$\forall \alpha \in W,\mathcal{A}\alpha \in \mathcal{W}$，则 $W$ 是 $V$ 在 $\mathcal{A}$ 下的不变子空间。显然 $\ker (\mathcal{A})$ 和 $\text{Im}(\mathcal{A})$ 都是不变子空间。

$1.5$ 任何关于$\mathcal{A}$的多项式$f(\mathcal{A})$都满足$\ker [f(\mathcal{A})]$是$\mathcal{A}$的一个不变子空间。道理很简单，$\forall \alpha \in \ker [f(\mathcal{A})]$，有$f(\mathcal{A})\alpha =0\Rightarrow \mathcal{A}f(\mathcal{A})\alpha =0\Rightarrow f(\mathcal{A})\mathcal{A}\alpha =0$ 。为什么能交换呢，因为线性变换可以类比加法和乘法，而多项式同理。

$1.6$ 如果我们能找到若干不变子空间$W_1,W_2,...,W_k$使得$W_1\oplus W_2\oplus ...\oplus W_k=V$，那么可以将$\mathcal{A}$进行分块得到类似的对角矩阵，其他部分全是$0$。

$1.7$ 定理：若$f(x)=f_1(x)f_2(x)$ 且 $\gcd [f_1(x),f_2(x)]=1$，则$\ker [f(\mathcal{A})]=\ker [f_1(\mathcal{A})]\oplus \ker [f_2(\mathcal{A})]$ 。

类比因式分解，直观上不难理解。考虑形式化的证明：

$\mathrm{1.7.1}$ 先证$\forall \alpha \in \ker [f_1(\mathcal{A})],\beta \in \ker [f_2(\mathcal{A})]$，$\alpha +\beta \in \ker [f(\mathcal{A})]$ 。

$\mathrm{1.7.2}$ 再证$\forall \alpha \in \ker [f(\mathcal{A})],\exists \beta \in \ker [f_1(\mathcal{A})],\gamma \in \ker [f_2(\mathcal{A})]$，使得$\alpha =\beta +\gamma$ 。

因为互质所以$S_1(\mathcal{A})f_1(\mathcal{A})+{\mathcal{S}}_2(\mathcal{A})f_2(\mathcal{A})=1$（类比裴蜀定理），那么取$\beta =S_2(\mathcal{A})f_2(\mathcal{A})\alpha$，$\gamma =S_1(\mathcal{A})f_1(\mathcal{A})\alpha$，显然$\beta +\gamma =\alpha$，并且$f_1(\mathcal{A})\beta =f_1(\mathcal{A}){\mathcal{S}}_2(\mathcal{A})f_2(\mathcal{A})\alpha ={\mathcal{S}}_2(\mathcal{A})f(\mathcal{A})\alpha =0$，其余同理。

$\mathrm{1.7.3}$ $\ker [f_1(\mathcal{A})]\cap \ker [f_2(\mathcal{A})]=0$ 。

$1.8$ 零化多项式：使得$f(\mathcal{A})=0$的多项式。如果我们找到了多项式$g(x)$，不妨设$g(x)=\prod (x-{\gamma }_i{)}^{t_i}$，那么$\ker [f(\mathcal{A})]=\oplus \ker [(\mathcal{A}-{\gamma }_i{)}^{t_i}]$，而$f(\mathcal{A})=0$，所以$\ker [f(\mathcal{A})]=\mathcal{V}$，这样我们找到了一个对原线性空间$V$的一个剖分。

$1.9$ 特征多项式： 若$\mathcal{A}\alpha =\lambda \alpha$ （$\alpha \in V\backslash \{0\}$，$\lambda \in P$），则称$\lambda$为特征值，$\alpha$为特征向量。

解这个方程很简单：$(\mathcal{A}-\lambda )\alpha =0\Rightarrow \alpha \in \ker (\mathcal{A}-\lambda )$ ，若$\lambda$为特征值只需$\det (\mathcal{A}-\lambda )=0$。显然$\det (\mathcal{A}-\lambda )$是关于$\lambda$的多项式，记作$f(\lambda )$为$\mathcal{A}$的特征多项式。那么我们有，$f(\mathcal{A})=0$ 。

有些有趣的性质。比如，由定义$f(0)=\det (\mathcal{A})$，而我们知道$f(x)=\prod ({\lambda }_i-x{)}^{t_i}$ （因为$f(x)=0$的根都是特征值)，所以$\prod {\lambda }_i=\det (\mathcal{A})$。

$2.0$ 相似变换：如果存在可逆矩阵$P$使得$B=P^{-1}AP$，那么$B$和$A$就是相似的，这个变换叫做相似变换。

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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