【学习笔记】[AGC031F] Walk on Graph

这是一道数学题。

我尝试分析其周期性。结论是，一定存在$T$使得$2^T=1$，然而我并不知道$T$的大小，暂时放一边。

然后我用$(u,x)$描述当前在点$u$，权值为$x$，走一条长度为$d$的边就变成了$(v,2x+d)$。那么我走$T$次相同的边，在 倒着做 的视角下不难看出权值仍为$x$，如果$T$是奇数那么其实是走到了$v$，显然一定有解。如果$T$是偶数，似乎规律不容易看出来。

然后我借鉴题解 注意到$(u,x),(v,2x+d)$是 双向可达 的，因此$(u,x)\iff (v,2x+d)$，那么$(u,4x+3d)\iff (u,x)\iff (u,4x+3d^{\prime })$，因为$4x$可以表示任意数所以可以看成$(u,x)\iff (u,x+3k(d-d^{\prime }))$，其中$d,d^{\prime }$是任取的与$u$相连的两条边。那么记$t_u$表示$u$的周期，如果$u,v$之间有边，那么$2t_u$也是$v$的周期，所以$t_v=\gcd (2t_u,t_v)=\gcd (t_u,t_v)$，又因为图是联通的，所以记$g={\gcd }_{i=2}^m(d_i-d_1)$，对于任意$u$，有$(u,x)\iff (u,x+3g)$。这样我们把$(u,x)$剖分成了$\gcd (3g,\text{mod})$种情况。

方便起见，我们将模数等效成$\gcd (3g,\text{mod})$。如果这个数比较小的话我们已经可以得到比较好的算法了。能否继续压缩呢？注意到$g|d_i-d_1$，所以$d_i=k_{i}g+d_1$，考虑将$d_1$扔掉，有一步反常的转化：可以将状态的$x$都加上$d_1$，注意到这只是平移变换，只要满足原来的关系即可：$(u,x+d_1{)}^{\prime }=(u,x)\iff (v,2x+d_1+kg)=(v,2x+2d_1+kg{)}^{\prime }$，也就是说平移不改变连通性。显然$kg$也可以被扔掉，因为$(u,x)\iff (v,2x+kg)\iff (u,4x)$。那么考虑以$(u,x)$为起点能到的点都可以表示成$(v,2^{i}x+jg)$，其中$i\in \{0,1\},j\in \{0,1,2\}$，也就是说一个点有用的状态只有$6$种。

那么，起点可以看成$(u,0,0)$，对于终点，我们可以解出所有的$(v,i,j)$，然后判断是否在同一个连通块中即可。我们发现，这样的表示并不取决于终点的选取，因此只需建一次图即可。

复杂度$O(\text{mod}+6n)$。

#include<bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define ll long long
#define pb push_back
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int N=50005;
const int M=1e6+5;
int n,m,Q,mod,g,U[N],V[N],W[N],fa[N*6],id[N][2][3],num,v[2][M];
int gcd(int x,int y){
	return y==0?x:gcd(y,x%y);
}
int find(int x){
	return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
void unionset(int x,int y){
	if(find(x)!=find(y))fa[fa[x]]=fa[y];
}
int solve(int x,int y,int z){
	for(int i=0;i<2;i++){
		for(int j=0;j<3;j++){
			if(v[i][(W[1]+z+(3-j)*g)%mod]&&find(id[x][0][0])==find(id[y][i][j])){
				return 1;
			}
		}
	}return 0;
}
signed main(){
	cin>>n>>m>>Q>>mod;
	for(int i=1;i<=m;i++)cin>>U[i]>>V[i]>>W[i];
	for(int i=2;i<=m;i++)g=gcd(g,abs(W[i]-W[1]));
	mod=gcd(mod,3*g);for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=0;j<2;j++)for(int k=0;k<3;k++)id[i][j][k]=++num;
	for(int i=1;i<=num;i++)fa[i]=i;
	for(int i=1;i<=m;i++){
	    int w;
		if(g>0)w=(W[i]-W[1])/g%3; 
		else w=0;
		for(int j=0;j<2;j++){
			for(int k=0;k<3;k++){
				unionset(id[U[i]][j][k],id[V[i]][j^1][(k*2+3+w)%3]);
				unionset(id[V[i]][j][k],id[U[i]][j^1][(k*2+3+w)%3]);
			}
		}
	}for(int i=0;i<2;i++){
		int k=W[1]%mod;if(i)k=k*2%mod;
		for(int j=0;j<mod;j++){
			v[i][k]=1;k=k*4%mod;
		}
	}
	for(int i=1;i<=Q;i++){
		int x,y,z;cin>>x>>y>>z;
		cout<<(solve(y,x,z)?"YES":"NO")<<"\n";
	}
}

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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