【学习笔记】[AGC023E] Inversions

我想到按$a_i$排序，设$b_i$表示第$i$个位置对应的排名，这样总方案数${\prod }_{i=1}^n(a_i-i+1)$。

固定$p_{b_i}=x$，那么若$j$对答案有贡献，应该满足：

$1.1$ $b_j>b_i，p_{b_j}<x$

那么，令$a_j\leftarrow \min (x-1,a_j)$然后算挖掉$x$后的方案数即可。

瞪眼大法可知，当$a_i<a_j$时，令$a_j\leftarrow a_i$并不影响其方案数，此时$a_i$,$a_j$处于同等地位，那么答案就是总方案数$/2$。对于$a_i>a_j$的情况反过来容斥即可。

考虑优化。注意到我们已经按$a_i$排序了，那么从后往前遍历，线段树上每个点存的是变成$a_i$后的方案数，考虑从$a_i$再变到$a_{i-1}$时，相对位置没有发生变化，那么相当于全局乘一个固定数，线段树查询$b_i$以后的部分即可。

复杂度$O(n\log n)$。

#include<bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define ll long long
#define pb push_back
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
ll pw(ll x,ll y=mod-2){
	ll z(1);
	for(;y;y>>=1){
		if(y&1)z=z*x%mod;
		x=x*x%mod;
	}return z;
}
int n;
ll bit[200005],bit1[200005],res,M,M2,inv2(pw(2));
vector<pair<int,int>>v;
struct node{
	int a,b;
	bool operator <(const node &r)const{
		return a<r.a;
	}
}s[200005];
void add(int x,int y){
	v.pb({x,y});
	for(;x<=n;x+=x&-x)bit[x]=(bit[x]+y)%mod,bit1[x]++;
}
ll qry(int x){
	ll tot(0);for(;x;x-=x&-x)tot=(tot+bit[x])%mod;
	return tot;
}
ll qry2(int x){
	ll tot(0);for(;x;x-=x&-x)tot+=bit1[x];
	return tot;
}
void cl(){
	for(auto x:v){
		int y=x.fi,z=x.se;
		for(;y<=n;y+=y&-y)bit[y]=(bit[y]-z)%mod; 
	}v.clear();
}
int rev(int x){
	return n-x+1;
}
ll solve(){
	ll tot(0);M=1;
	for(int i=n;i>=1;i--){
		int j=i;while(s[j-1].a==s[i].a)j--;
		if(s[i].a==i)cl(),M=1;
		else if(i!=n)M=M*pw(s[i+1].a-i)%mod*(s[i].a-i)%mod;
		for(int k=j;k<=i;k++){
			tot+=qry(rev(s[k].b))*M%mod*inv2%mod,tot%=mod;
		}
		for(int k=j;k<=i;k++){
			add(rev(s[k].b),M2*pw(M)%mod);
		}i=j;
	}cl(),M=1;memset(bit1,0,sizeof bit1);
	for(int i=n;i>=1;i--){
		int j=i;while(s[j-1].a==s[i].a)j--;
		if(s[i].a==i)cl(),M=1;
		else if(i!=n)M=M*pw(s[i+1].a-i)%mod*(s[i].a-i)%mod;
		for(int k=j;k<=i;k++){
			tot+=qry2(s[k].b)*M2%mod,tot-=qry(s[k].b)*M%mod*inv2%mod,tot%=mod; 
		}
		for(int k=j;k<=i;k++){
			add(s[k].b,M2*pw(M)%mod);
		}i=j;
	}
	return tot; 
}
signed main(){
	cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>s[i].a,s[i].b=i;
	sort(s+1,s+1+n);M2=1;for(int i=1;i<=n;i++)M2=M2*(s[i].a-i+1)%mod;
	if(!M2){cout<<0;return 0;}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int j=i;while(s[j+1].a==s[i].a)j++;
		res+=M2*inv2%mod*(j-i+1)%mod*(j-i)%mod*inv2%mod,res%=mod;
		i=j;
	}
	res+=solve(),res%=mod;
	cout<<(res+mod)%mod;
}

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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