【学习笔记】CF1225G To Make 1

不难观察到$\sum a_i{k}^{-b_i}=1$，将其看成$k$进制小数，从低到高位考虑，每一位进位后恰好为$0$。那么我们将数字逐次加入，从低位到高位进位的过程恰好就是合并的顺序。

考虑暴力$dp$。设$d{p}_{S,i}$表示使用了$S$中的数字，考虑到第$i$位时当前数位上合法的值的表。注意到转移是平移操作可以$\text{bitset}$优化。

复杂度$O(2^n{n}^2\frac{M}{w})$。注意到位数可以省掉，可以优化一个$n$。

#include<bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define ll long long
#define pb push_back
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int n,K,a[20];
bitset<2005>dp[1<<16];
vector<int>vi[101],v;
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>K;for(int i=0;i<n;i++)cin>>a[i];
    dp[0][0]=1;
	for(int i=0;i<1<<n;i++){
		v.clear();
		for(int j=dp[i]._Find_first();j<=2000;j=dp[i]._Find_next(j))v.pb(j);
		for(auto x:v){
			while(x&&x%K==0)dp[i][x/=K]=1;
		}
		for(int j=0;j<n;j++){
			if(!(i>>j&1)){
				dp[i|(1<<j)]|=(dp[i]<<a[j]);
			}
		}
	}if(dp[(1<<n)-1][1]){
		cout<<"YES"<<"\n";int S=(1<<n)-1,sum=1;
		for(int j=100;j>=0;j--){
			sum*=K;assert(dp[S][sum]);
			for(int k=0;k<n;k++){
				if((S>>k&1)&&sum>=a[k]&&dp[S^(1<<k)][sum-a[k]]){
					S^=(1<<k),sum-=a[k],vi[j].pb(a[k]); 
				}
			}if(!S)break;
		}assert(S==0);vector<int>v,v2;
		for(int j=0;j<=100;j++){
			for(auto x:vi[j])v.pb(x);
			int X=0;v2.clear();
			for(auto x:v){
				if(x%K==0)v2.pb(x/K);
				else if(!X)X=x;
				else {
					cout<<X<<' '<<x<<"\n";
					X+=x;if(X%K==0)v2.pb(X/K),X=0;
				}
			}v=v2;
		}
	}else{
		cout<<"NO";
	}
}

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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