【学习笔记】[AGC036D] Negative Cycle

难以评价。。。

首先，没有负环等价于差分约束有解。这谁想得到啊qwq

那么记变量$\{x_i\}$，相当于满足若干不等式。假设我们得到了一组合法的$\{x_i\}$，那么显然$x_1\ge x_2\ge ...\ge x_n$，记$q_i=x_i-x_{i+1}$，如果$i<j$有负边那么$x_i-x_j\ge 1$，等价于$[i,j)$不全为$0$，如果$i<j$有正边那么$x_i-x_j\le 1$，显然我们可以看出$q_i\in \{0,1\}$。那么正边的情况也等价于$[i,j)$最多只有一个$1$。

那么我们可以对$\{q_i\}$进行$dp$，去计算删边的花费。

复杂度$O(n^3)$。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define pb push_back
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
using namespace std;
int n;
ll a[505][505],b[505][505],f[505][505],g[505][505],res(inf);
void chmin(ll &x,ll y){
	x=min(x,y);
}
signed main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(i!=j){
				if(i<j)cin>>a[j-1][i];
				else cin>>b[i-1][j];
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=i;j++){
			a[i][j]+=a[i][j-1],b[i][j]+=b[i][j-1];
		}
	}
	memset(f,0x3f,sizeof f),f[0][0]=0;
	for(int i=1;i<n;i++){
		memset(g,0x3f,sizeof g);
		g[0][0]=f[0][0]+a[i][i];
		g[0][i]=f[0][0];
		for(int j=1;j<i;j++){
			chmin(g[0][j],f[0][j]+a[i][i]-a[i][j]);
			chmin(g[j][i],f[0][j]+b[i][j]);
		}
		for(int j=1;j<i;j++){
			for(int k=j+1;k<i;k++){
				if(f[j][k]==inf)continue;
				chmin(g[j][k],f[j][k]+(a[i][i]-a[i][k])+b[i][j]);
				chmin(g[k][i],f[j][k]+b[i][k]);
			}
		}memcpy(f,g,sizeof g);
	}for(int i=0;i<n;i++){
		for(int j=0;j<n;j++){
			res=min(res,f[i][j]);
		}
	}cout<<res;
}

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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