【学习笔记】[AGC037F] Counting of Subarrays

将递归反着做，每次相当于选择长度$\ge L^{\prime }$的连续段$x$删除，替换成$x+1$。

对于区间$[l:r]$可能属于多个级别，考虑将其定义为最小的级别，即区间最大值$+1$。

那么我们考虑怎么统计答案。记$[l:r]$的最大值为$k$，那么当$<k$的段都被合并后，若$[l:r]$对应的串的长度$\ge L^{\prime }$，那么对答案会有贡献。

如果暴力做我们就用$[l,r,i]$表示区间$[l:r]$的连续段$i$，每次把$i$对应的区间并起来，再合并到$i+1$去，注意这里我们要用$\text{set}$存储，我们不加证明的指出复杂度为$O(n\log n)$。

接下来的做法我是想不到的 我们考虑将问题进行泛化，每个点有$L_i,R_i$，合法区间$[l:r]$的贡献是$L_l{R}_r$。

如何将泛化后的问题应用到原序列上？注意到：
$1.1$ 对于一个连续段，贡献是${\sum }_{r-l\ge L}{L}_l{R}_r$，可以$O(len)$计算
$1.2$ 如果我们将长度为$m$的$k$合并成$\lfloor \frac{m}{L^{\prime }}\rfloor$个$k+1$，相当于一个点代表原序列的一段，那么如果$[l,r]\subseteq [L,R]$，这样的代替是正确的，因为$[L,R]$包含了将$[l,r]$合并时的结果。如果$[L,R]\subseteq [l,r]$那么我们已经在上一步计算过方案了，我们只需考虑一个端点落在$[l,r]$的情况。假设$L\in [l,r]$，那么首先会合并$[L,r]$，此时会生成$\lfloor \frac{r-L+1}{L^{\prime }}\rfloor$段，我们找到对应位置累加即可。

复杂度$O(n\log n)$。实现比较复杂，可以考虑用链表删除元素，用堆每次找到最小的那一段。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define pb push_back
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
using namespace std;
int n,K,a[200005],L[200005],R[200005],nxt[200005];
ll res;
priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii>>q;
struct node{
	int L,R,x;
};
vector<node>v,ve;
ll calc(vector<node>&v){
	ll tot(0),sum(0);
	for(int i=0;i<v.size();i++){
		tot+=v[i].R*sum;
		if(i-K+2>=0)sum+=v[i-K+2].L;
	}return tot;
}
signed main(){
    cin>>n>>K;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i],L[i]=R[i]=1,nxt[i]=i+1,q.push({a[i],i});nxt[n]=0;
    if(K==1){cout<<(ll)n*(n+1)/2;return 0;}
    while(q.size()){
    	int l=q.top().se,k=q.top().fi;q.pop();v.clear(),ve.clear();
    	if(a[l]!=k)continue;
    	int r=l;v.pb({L[r],R[r],r});
    	while(nxt[r]&&a[nxt[r]]==k)r=nxt[r],v.pb({L[r],R[r],r});
    	if(v.size()<K){
    		for(auto x:v)a[x.x]=0;
    		continue;
		}
		res+=calc(v);int sz=v.size()/K;
		ve.resize(sz);
		for(int i=0;i<v.size();i++){
			int tl=(v.size()-i)/K;
			if(tl)ve[sz-tl].L+=v[i].L;
			int tr=(i+1)/K;
			if(tr)ve[tr-1].R+=v[i].R;
		}res-=calc(ve);
		for(int i=0;i<sz;i++){
			L[v[i].x]=ve[i].L,R[v[i].x]=ve[i].R,a[v[i].x]++;
		}
		for(int i=sz;i<v.size();i++)a[v[i].x]=0;
		nxt[v[sz-1].x]=nxt[r];q.push({k+1,l});
	}res+=n;
	cout<<res;
}

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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