【学习笔记】群论基础
1.1
1.1
1.1 群 :
G
G
G是一个群需要满足:结合律,存在单位元,
G
G
G中所有元素都有逆元
1.2
1.2
1.2 阶 :当群的元素个数是有限多个时,群的阶就是元素的个数。元素的阶就是最小的正整数
k
k
k使得
x
k
=
e
x^k=e
xk=e。
1.3
1.3
1.3 子群的判定 :如果
H
H
H是
G
G
G的非空子集,那么
H
H
H是
G
G
G的子群当且仅当对于任意的
a
,
b
∈
H
a,b\in H
a,b∈H,有
a
b
−
1
∈
H
ab^{-1}\in H
ab−1∈H。当然
e
e
e肯定在
H
H
H中。
1.4
1.4
1.4 子群的构造 :
设 G G G是群, a ∈ G a\in G a∈G。定义 ⟨ a ⟩ = { a i ∣ i ∈ Z } \left\langle a\right\rangle=\{a^i|i\in \cal Z\} ⟨a⟩={ai∣i∈Z}, ⟨ a ⟩ \left\langle a\right\rangle ⟨a⟩是 G G G的子群,称 ⟨ a ⟩ \left\langle a\right\rangle ⟨a⟩是由 a a a生成的子群。
定义 N ( a ) = { x ∣ x ∈ G 且 x a = a x } N(a)=\{x|x\in G且xa=ax\} N(a)={x∣x∈G且xa=ax}, N ( a ) N(a) N(a)是 G G G的子群,称 N ( a ) N(a) N(a)是 G G G的正规化子
设 H H H是 G G G的子群, x ∈ G x\in G x∈G,定义 x H x − 1 = { x h x − 1 ∣ h ∈ H } xHx^{-1}=\{xhx^{-1}|h\in H\} xHx−1={xhx−1∣h∈H}, x H x − 1 xHx^{-1} xHx−1也是 G G G的子群,称为 H H H的共轭子群
设 G G G是群, a ∈ G a\in G a∈G, H H H, K K K都是 G G G的子群,那么 H ∩ K H\cap K H∩K也是 G G G的子群, H ∪ K H\cup K H∪K是 G G G的子群当且仅当发生退化(或者说如果不是完全包含就不构成子群)
1.5 1.5 1.5 循环群:
若 G = ⟨ a ⟩ = { a i ∣ i ∈ Z } G=\left\langle a\right\rangle=\{a^i|i\in \cal Z\} G=⟨a⟩={ai∣i∈Z},则称 G G G为循环群, a a a为生成元
n n n阶循环群和装备了加法的 m o d n \bmod \ n mod n的剩余系同构,无穷多个元素的循环群和装备了加法的整数集合同构,这是我们所熟悉的。
1.6
1.6
1.6 置换群:
定义
S
n
S_n
Sn表示所有
n
n
n元排列,称
S
n
S_n
Sn的子群为
n
n
n元置换群。
1.7
1.7
1.7 群的陪集分解:
设
G
G
G是群,设
H
H
H是
G
G
G的子群,
a
∈
G
a\in G
a∈G,定义
H
a
=
{
h
a
∣
h
∈
H
}
Ha=\{ha|h\in H\}
Ha={ha∣h∈H},称
H
a
Ha
Ha是子群
H
H
H在
G
G
G中的一个右陪集。
显然 H e = H , a ∈ H a He=H,a\in Ha He=H,a∈Ha。
∀ a ∈ G \forall a\in G ∀a∈G,有 H H H与 H a Ha Ha等势。构造双射函数即可。这说明在有限集的情况下, H H H与 H a Ha Ha的阶相同。
∀ a , b ∈ G \forall a,b\in G ∀a,b∈G,有 a ∈ H b ⇔ H a = H b ⇔ a b − 1 ∈ H a\in Hb\Leftrightarrow H_a=H_b\Leftrightarrow ab^{-1}\in H a∈Hb⇔Ha=Hb⇔ab−1∈H
这启发我们定义等价关系,并且进行等价类分解。
这样我们得到 lagrange \text{lagrange} lagrange定理:
设 G G G是有限群, H H H是 G G G的子群,则 G G G的阶一定是 H H H的阶的倍数,可以将 G G G分成 ∣ G ∣ ∣ H ∣ \frac{|G|}{|H|} ∣H∣∣G∣个等价类,每个等价类满足上述性质。
1.8
1.8
1.8 群的共轭类分解:
设
G
G
G是群,对于任意的
a
,
b
∈
G
a,b\in G
a,b∈G,定义
b
b
b是
a
a
a的共轭当且仅当存在
x
∈
G
x\in G
x∈G使得
b
=
x
a
x
−
1
b=xax^{-1}
b=xax−1。
可以证明共轭关系也是等价关系,可以进行共轭类分解。特别的, e e e单独构成一个等价类。
若 G G G是有穷元素构成的群,那么 a a a所在的共轭类大小等于 G G G的阶除以 N ( a ) N(a) N(a)的阶。
证明:任取 x , y ∈ G x,y\in G x,y∈G, x a x − 1 = y a y − 1 ⇔ a x − 1 y = x − 1 y a ⇔ x − 1 y ∈ N ( a ) ⇔ x N ( a ) = y N ( a ) xax^{-1}=yay^{-1}\Leftrightarrow ax^{-1}y=x^{-1}ya\Leftrightarrow x^{-1}y\in N(a)\Leftrightarrow xN(a)=yN(a) xax−1=yay−1⇔ax−1y=x−1ya⇔x−1y∈N(a)⇔xN(a)=yN(a)
这说明 a a a的不同共轭的数量是 G G G关于 N ( a ) N(a) N(a)的陪集分解的等价类的数量,也就是 ∣ G ∣ ∣ N ( a ) ∣ \frac{|G|}{|N(a)|} ∣N(a)∣∣G∣。
1.9
1.9
1.9 轨道-稳定子群定理:
设
G
G
G是
A
A
A上的有穷置换群,
a
∈
A
a\in A
a∈A。定义
G
a
=
{
g
∣
g
∈
G
且
g
(
a
)
=
a
}
G^a=\{g|g\in G且g(a)=a\}
Ga={g∣g∈G且g(a)=a},称
G
a
G^a
Ga为
a
a
a的稳定子群。定义
G
(
a
)
=
{
g
(
a
)
∣
g
∈
G
}
G(a)=\{g(a)|g\in G\}
G(a)={g(a)∣g∈G},称
G
(
a
)
G(a)
G(a)为
a
a
a的轨道。
轨道-稳定子群定理: ∣ G ∣ = ∣ G a ∣ ∣ G ( a ) ∣ |G|=|G^a||G(a)| ∣G∣=∣Ga∣∣G(a)∣
证明:首先 G a G^a Ga为 G G G的子群,考虑陪集分解,任取 x , y ∈ G x,y\in G x,y∈G, x ( a ) = y ( a ) ⇔ x − 1 ( y ( a ) ) = a ⇔ x − 1 y ∈ G a ⇔ x G a = y G a x(a)=y(a)\Leftrightarrow x^{-1}(y(a))=a\Leftrightarrow x^{-1}y\in G^a\Leftrightarrow xG^a=yG^a x(a)=y(a)⇔x−1(y(a))=a⇔x−1y∈Ga⇔xGa=yGa
这说明 ∣ G ( a ) ∣ |G(a)| ∣G(a)∣是 G G G关于 G a G^a Ga的陪集分解的等价类数量。
2.0 2.0 2.0 Burnside \text{Burnside} Burnside引理:
由 ∣ G ∣ = ∣ G a ∣ ∣ G ( a ) ∣ |G|=|G^a||G(a)| ∣G∣=∣Ga∣∣G(a)∣有 ∣ G a ∣ = ∣ G ∣ G ( a ) |G^a|=\frac{|G|}{G(a)} ∣Ga∣=G(a)∣G∣
对所有 a ∈ A a\in A a∈A求和,有 ∑ a ∈ A ∣ G a ∣ = ∑ a ∈ A ∣ G ∣ G ( a ) = ∣ G ∣ ∣ A / G ∣ \sum_{a\in A}|G^a|=\sum_{a\in A}\frac{|G|}{G(a)}=|G||A/G| ∑a∈A∣Ga∣=∑a∈AG(a)∣G∣=∣G∣∣A/G∣
其中 ∣ A / G ∣ |A/G| ∣A/G∣表示本质不同的数量,也就是答案。
记 A g = { a ∣ g ( a ) = a } A^g=\{a|g(a)=a\} Ag={a∣g(a)=a},那么上式可以写成 ∑ g ∈ G ∣ A g ∣ = ∣ G ∣ ∣ A / G ∣ \sum_{g\in G} |A^g|=|G||A/G| ∑g∈G∣Ag∣=∣G∣∣A/G∣,证毕。
2.1 2.1 2.1 Polya \text{Polya} Polya定理:对于有 m m m中原色的染色问题, ∣ A g ∣ = m c ( g ) |A^g|=m^{c(g)} ∣Ag∣=mc(g),其中 c ( g ) c(g) c(g)指把 g g g这个置换拆成不相交循环的个数。
2.2 2.2 2.2 在 m o d p \bmod p modp意义下找两个 n n n阶方阵 A , B A,B A,B使得 ∣ B ∣ ≠ 0 |B|\ne 0 ∣B∣=0且 A = B A A=BA A=BA,求出 ⟨ A , B ⟩ \left\langle A,B\right\rangle ⟨A,B⟩的数目,对 998244353 998244353 998244353取模。 n ≤ 3 × 1 0 7 , p ≤ 1 0 9 n\le 3\times 10^7,p\le 10^9 n≤3×107,p≤109且 p p p为质数。
相当困难的题目。将 ∣ B ∣ ≠ 0 |B|\ne 0 ∣B∣=0的矩阵看成一个群(显然有逆),那么 A = B A A=BA A=BA其实就是在算不动点的数量。考虑反用 Burnside \text{Burnside} Burnside引理,我们有 ∑ ∣ A g ∣ = ∣ G ∣ ∣ G / A ∣ \sum |A^g|=|G||G/A| ∑∣Ag∣=∣G∣∣G/A∣。
2.2.1
2.2.1
2.2.1 考虑依次加入向量。假设之前加入了
i
i
i个线性无关的向量,那么能张成
p
i
p^i
pi个不同向量,新的向量不能与之重复,因此方案数是
p
n
−
p
i
p^n-p^i
pn−pi。所以
∣
G
∣
=
∏
i
=
0
n
−
1
(
p
n
−
p
i
)
|G|=\prod_{i=0}^{n-1}(p^n-p^i)
∣G∣=∏i=0n−1(pn−pi)
2.2.2
2.2.2
2.2.2 若
∃
∣
B
∣
≠
0
\exist |B|\ne 0
∃∣B∣=0,使得
A
=
B
C
A=BC
A=BC,那么
A
A
A,
C
C
C本质相同,考虑何时
A
A
A,
C
C
C相同,首先
rank
(
A
)
=
rank
(
C
)
\text{rank}(A)=\text{rank}(C)
rank(A)=rank(C),其次把
A
A
A,
C
C
C看成
n
n
n个行向量堆叠起来的话,会发现
A
i
A_i
Ai是
{
C
i
}
\{C_i\}
{Ci}线性组合,因此
{
A
i
}
\{A_i\}
{Ai}构成的子空间是被
{
C
i
}
\{C_i\}
{Ci}包住的,又因为两者维度相同,因此等价于两者属于同一线性空间。
枚举 rank(A)=k \text{rank(A)=k} rank(A)=k,那么我们只要算 k k k维子空间的数目即可。子空间的定义很抽象,我们可以先考虑算基的数目。显然这等于 ∏ i = 0 k − 1 ( p n − p i ) \prod_{i=0}^{k-1}(p^n-p^i) ∏i=0k−1(pn−pi),又因为同一个 k k k维子空间的基的选取有 ∏ i = 0 k − 1 ( p k − p i ) \prod_{i=0}^{k-1}(p^k-p^i) ∏i=0k−1(pk−pi)种,因此相除即可。
具体计算过程这里不再赘述。
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