【学习笔记】Triangles

套一下公式然后完

根据对称性，不妨考虑$(0,i),(j,0),(W,k)$围成的三角形，同时假设$i<k$。

套用$\text{Pick}$定理：$2S=a+b-2$

得到$j(k-i)+Wi=2a+\gcd (i,j)+\gcd (W-j,k)+\gcd (W,k-i)-2$

既然前面假设$k>i$，那么我们令$d=k-i$，这样所有数都是正数。

$jd+Wi=2a+\gcd (i,j)+\gcd (W-j,k)+\gcd (W,k-i)-2$

瞪眼法不难看出此时$j,d$的对数是调和级数。那么我们枚举$j,d$，这样只剩下变量$i$：

$jd-\gcd (W,d)+2=2a+\gcd (i,j)+\gcd (W-j,d+i)-Wi$

换成不等式：

$Wi\le -jd+\gcd (W,d)+\gcd (i,j)+\gcd (W-j,d+i)-2+2K$

不难发现当$i\le \lfloor \frac{-jd+\gcd (W,d)-2+2K}{W}\rfloor$时一定合法，因此只需检验$\lfloor \frac{-jd+\gcd (W,d)-2+2K}{W}\rfloor +1$即可，可以$O(1)$判断。

复杂度$O(n{\log }^{2}n)$。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define db long double
#define cpx complex<db>
#define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
using namespace std;
int W,H,K;
ll res;
int gcd(int x,int y){
	return y==0?x:gcd(y,x%y);
}
ll solve(int W,int H){
	ll res=0;
	for(int j=1;j<W;j++){
		for(int d=1;d<H&&j*d<=K*2+W;d++){
			int i=(-j*d+gcd(W,d)-2+2*K)/W;i=min(i,H-d-1);i=max(i,0);
			assert(i>=0);res+=i;
			if(i!=H-d-1&&W*(i+1)<=-j*d+gcd(W,d)+gcd(i+1,j)+gcd(W-j,d+i+1)-2+2*K)res++;
		}
	}res<<=1;
	for(int j=1;j<W;j++){
		int i=(2*K+W-2)/W;i=min(i,H-1);i=max(i,0);
		assert(i>=0);res+=i;
		if(i!=H-1&&W*(i+1)<=2*K+gcd(i+1,j)+gcd(W-j,i+1)+W-2)res++;
	}return res;
}
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>W>>H>>K;
    cout<<(solve(W,H)+solve(H,W)<<1);
}

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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