【学习笔记】线性基求交

纯粹闲的没事瞎搞的，但是感觉做法很神奇就记录一下

给定两个基，对应的线性空间$V_1$,$V_2$，求$V_1\cap V_2$的基。

引理：若$V_1$,$V_2$是线性空间，$B_1$,$B_2$是它们的基，令$W=B_2\cap V_1$，若$B_1\cup (B_2\setminus W)$线性无关，则$W$是$V_1\cap V_2$的一组基。

证明：
$1.1$ 若$x\in \text{span(W)}$，则$x\in V_1\cap V_2$，这很显然。
$1.2$ 若$x\in V_1\cap V2$，则$x\in \text{span(W)}$。考虑分别取出$x$在$B_1$,$B_2$下的基表示，如果$x$在$B_2$为基的表示下存在$B_2\setminus W$，那么$B_1$和$B_2\setminus W$就线性相关了，与条件矛盾。

做法：考虑一开始$B_2$为空，每次往$B_2$中加入一个基底$x$，如果$x\in V_1$，那么应该在$W$中插入$x$，此时$B_2\setminus W$不变。如果$x\notin V_1$，那么应该在$B_2\setminus W$中插入$x$，假设此时线性相关了，那么我们取出$x$在$B_1\cup (B_2\setminus W)$下的基表示，取$x^{\prime }$为$B_1$部分的基即可，因为此时满足$x^{\prime }\in V_1$。

复杂度$O(d^2)$。

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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