【学习笔记】[AGC047] Product Simulation

给你两种操作：$a_k\leftarrow a_i+a_j$，$a_k\leftarrow [a_i<a_j]$ ，让你用上述操作构造运算$A\times B$，$A$,$B$未知。

sol：思维题。首先我们要知道目的是用上述两种简单运算构造出比较复杂度情况，这里有一个引理：

$1.1$ 若$A,B\in \{0,1\}$，那么$A\times B=[1<A+B]$

这条引理告诉我们如何构造最为基本的乘法运算。

让我们想想。什么样的数只有$0/1$ ？显然 数的二进制表示。

考虑一般情况。设$A=(a_n{a}_{n-1}...a_0{)}_2$，$B=(b_m{b}_{m-1}...b_0{)}_2$，那么$A\times B={\sum }_{i=0}^n{\sum }_{j=0}^m(a_i{b}_j{)}^{i+j}$ 。而我们知道$x{2}^i$可以通过将$x$自我复制$i$次得到，因此我们只需将$A$,$B$二进制拆分即可。

如何拆分？我们从高到低位考虑，最高位等价于$[A\ge 2^k]$，对于低位只需抵消高位的影响即可。（在式子右边加上之前分出来的高位）以此类推，可以递推的把每一位求出来。

总序列长度 $O({\log }^{3}n)$。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
using namespace std;
int A,B,tot=4;
struct node{
	int op,a,b,c;
};
vector<node>v;
void add(int x,int y,int z){v.pb({0,y,z,x});}
void get(int x,int y,int z){v.pb({1,y,z,x});} 
int mul(int x,int y){
	add(++tot,x,y),get(tot+1,3,tot),tot++;
	return tot;
} 
int fac(int x,int y){
	if(y==0)return x;
	add(++tot,x,x),y--;
	for(int i=0;i<y;i++)add(tot+1,tot,tot),tot++;
	return tot;
}
vector<int>div(int A){
	vector<int>v;int lst=++tot;//之前的和
	add(++tot,A,3);int l=tot;
	for(int i=29;i>=0;i--){
		int x=fac(3,i);add(++tot,x,lst);get(tot+1,tot,l),tot++;v.pb(tot);
		add(++tot,lst,fac(tot,i)),lst=tot;
	}reverse(v.begin(),v.end());return v;
}
int main(){
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	ios::sync_with_stdio(false);add(4,0,1),get(3,3,4);
	vector<int>v1=div(0),v2=div(1);
	for(int i=0;i<v1.size();i++){
		for(int j=0;j<v2.size();j++){
			add(2,2,fac(mul(v1[i],v2[j]),i+j));
		}
	}
	cout<<v.size()<<"\n";
	for(auto x:v){
		cout<<(x.op?'<':'+')<<' '<<x.a<<' '<<x.b<<' '<<x.c<<"\n";
	}
}

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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