【学习笔记】CF335E Counting Skyscrapers

被语文作文整自闭了，我怎么就这么菜呢？

我还能怎么说呢。做不出来就是做不出来，就是菜。

考虑第二问，如果用期望的定义，那么就要算出来楼房数目为$i$的概率，这个就有点复杂了。

但是我们考虑，楼房数目等于所有通道的长度之和，所以如果任意高度为$l$的通道对应的通道长度的期望为$2^{l-1}$，又因为其对$B$造成的贡献也为$2^{l-1}$，那么就能证明$A$的期望等于$B$。

注意，上述思路是在知道结论的情况下生成的，如果我根本不知道这个结论，那恐怕只有从样例$2$猜出来吧，这是唯一的提示。

另一个思维难点在于，事实上我们可以不用考虑$h$的限制。这样，对于一个高度为$l$的通道，一定有一个楼房的高度恰好为$l$，不妨假设是左边那个。那么对于右边那个唯一的限制是楼房高度$\ge l$，概率为${\sum }_{i\ge l}\frac{1}{2^i}=\frac{1}{2^{l-1}}$。对于中间的楼房高度应该$<l$，概率为$1-\frac{1}{2^{l-1}}$。记$P=1-\frac{1}{2^{l-1}}$，那么，通道长度的期望为$(1-P){\sum }_{i=1}^{\infty }{P}^{i-1}\times i$，这玩意就等价于有$1-P$的概率抽到一个物品，问你抽到这个物品的期望次数，显然答案就是$\frac{1}{1-P}=2^{l-1}$，然后就证完了。

然后考虑$h$的限制，发现当通道高度恰好为$h$时还是一样的。

然后考虑第一问。

我的第一反应是$dp$，复杂度$O(n{h}^2)$。但是有点复杂，问题还是在于高度$\le h$的限制。这里涉及到一些条件概率的东西，复杂度也不太优。

然后写挂了，调不出来。

我认了。考虑高度为$h+1$的通道会覆盖长度为$h$的通道，那么我们只要算出期望新增的通道数目和期望覆盖的通道数目即可，我们可以将其独立计算。仍然不考虑上限为$h$的限制，假设有一段长度为$l$的通道，那么左右两端高度都应该$\ge h+1$，概率为$\frac{1}{2^h}$，并且这样的左端点有$n-l$个；中间的高度应该$<h+1$，概率为$(1-\frac{1}{2^h}{)}^{l-1}$。还应该计算覆盖的高度为$h$的通道的数量，发现等于这段长为$l-1$的区间中高度为$h$的楼房的数目$+1$，一个楼房高度为$h$的概率是$\frac{\frac{1}{2^h}}{1-\frac{1}{2^h}}$（注意这里是条件概率），所以期望数目是$(l-1)\frac{\frac{1}{2^h}}{1-\frac{1}{2^h}}$。这其实本质上就是计数，只是省去了$dp$的过程。显然这里只用考虑到$h$就行了。

复杂度$O(nd)$。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define inf 0x3f3f3f3f
#define db double
using namespace std;
int n,m,H;
db res,pw[35];
string str;
void add(db &x,db y){x+=y;}
db fpow(db x,ll y){
  db z=1;
  for(;y;y>>=1){
    if(y&1)z*=x;
    x*=x;
  }
  return z;
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>str>>n>>H;
    if(str[0]=='A'){
      res=n;
      pw[0]=1;for(int i=1;i<=2*H;i++)pw[i]=pw[i-1]*2;
      for(int h=1;h<=H;h++){
        for(int l=1;l<=n;l++){
          res+=(n-l)/pw[2*h]*fpow(1-1/pw[h],l-1)*(pw[h-1]-(l-1)*pw[h-1]/(pw[h]-1));
        }
      }
      cout.precision(20);
      cout<<res<<"\n";
    }
    else{
      cout<<n<<"\n";
    }
}

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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