【学习笔记】【集训队互测2015】上帝之手

~~这就是 $NO I$ 难度的数据结构吗。~~

一上来就甩了三个子问题给我。如果没有观察到一些非常重要的性质，这道题无论用多么复杂的数据结构都是难以求解的。从表面上看，这道题还套了区间查询，计数和第 $K$ 大的外衣，无疑是非常困难的题目。

我尝试感知这道题目。实际上这道题要问的东西 并没有那么复杂。考虑从拆分 $\min$ 函数入手。式子比较繁琐，考虑慢慢分析：假设以 $X_{i-1}$ 为初值从 $i$ 出发走到 $j$ ， $sumD_i=\sum_{j\le i}D_j$ ，那么 $X_j=\min(X_{i-1}+sumD_j-sumD_{i-1},l_k+sumD_j-sumD_k)$ ，其中 $k\in [i,j]$ 。因为 $j$ 是固定的，所以区间查询最小值可以做到 $O (1)$ 计算。对于第一问，可以将 $X_{i-1}$ 替代成 $l_{i-1}$ ，这样上式取值就是单调的，可以直接计算。从另一个角度来想，第一问也是一个很好的提示，因为直接根据定义求就能得到非常有规律的式子。

考虑第二问。此时 $X_0$ 为定值，直接看上式一项递增而另一项递减，二分即可，这里不再赘述。

考虑第三问。我们需要一个能支持修改的数据结构。原问题实际上等价于从右端点开始每次跳向左边第一个比它小的位置，跳过的总次数。这是一个非常经典的问题，可以用线段树在 $O(n\log^2 n)$ 时间内求解。

可能以后要习惯这样根据部分分深入的题目。做不动是另一回事，但是总之还是要下定决心去肝。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define int ll
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int n,Q,d[N],sumd[N],limit[N];
struct node{
    int min,val;
}t[N<<2];
int query(int p,int l,int r,int now){
    if(l==r)return t[p].min<now;
    if(t[p].min>=now)return 0;
    int mid=l+r>>1;
    if(t[p<<1|1].min<now){
        return t[p].val-t[p<<1|1].val+query(p<<1|1,mid+1,r,now);
    }
    else{
        return query(p<<1,l,mid,now);
    }
}
int querymin(int p,int l,int r,int ql,int qr){
    if(ql<=l&&r<=qr)return t[p].min;
    int mid=l+r>>1;
    if(qr<=mid)return querymin(p<<1,l,mid,ql,qr);
    if(mid<ql)return querymin(p<<1|1,mid+1,r,ql,qr);
    return min(querymin(p<<1,l,mid,ql,qr),querymin(p<<1|1,mid+1,r,ql,qr));
}
void pushup(int p,int l,int r){
    int mid=l+r>>1;
    t[p].min=min(t[p<<1].min,t[p<<1|1].min);
    t[p].val=t[p<<1|1].val+query(p<<1,l,mid,t[p<<1|1].min);
}
void build(int p,int l,int r){
    if(l==r){
        t[p].min=limit[l]-sumd[l];
        t[p].val=1;
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    build(p<<1,l,mid),build(p<<1|1,mid+1,r);
    pushup(p,l,r);
}
void update(int p,int l,int r,int x){
    if(l==r){
        t[p].min=limit[l]-sumd[l];
        t[p].val=1;
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    x<=mid?update(p<<1,l,mid,x):update(p<<1|1,mid+1,r,x);
    pushup(p,l,r);
}
int Query(int p,int l,int r,int ql,int qr,int now){
    if(ql>qr)return 0;
    if(ql<=l&&r<=qr)return query(p,l,r,now);
    int mid=l+r>>1;
    if(qr<=mid)return Query(p<<1,l,mid,ql,qr,now);
    if(mid<ql)return Query(p<<1|1,mid+1,r,ql,qr,now);
    int tmp=querymin(p<<1|1,mid+1,r,mid+1,qr);
    if(tmp>=now)return Query(p<<1,l,mid,ql,mid,now);
    return Query(p<<1|1,mid+1,r,mid+1,qr,now)+Query(p<<1,l,mid,ql,mid,tmp);
}
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>Q;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>d[i],sumd[i]=sumd[i-1]+d[i];
    for(int i=0;i<=n;i++)cin>>limit[i];
    build(1,0,n);
    while(Q--){
        int type;
        cin>>type;
        if(type==0){
            int u,x;cin>>u>>x;
            //fixed
            limit[u]=x,update(1,0,n,u);
        }
        else if(type==1){
            int l,r,K;cin>>l>>r>>K;
            cout<<querymin(1,0,n,r-K,r)+sumd[r]<<"\n";
        }
        else if(type==2){
            int l,r,X;cin>>l>>r>>X;
            int L=l,R=r,res=l;
            while(L<=R){
                int mid=L+R>>1;
                if(X-sumd[mid-1]>=querymin(1,0,n,mid,r)){
                    res=mid,L=mid+1;
                }
                else{
                    R=mid-1;
                }
            }
            int res2=min(X-sumd[res-1],querymin(1,0,n,res,r));
            if(res<r)res2=max(res2,min(X-sumd[res],querymin(1,0,n,res+1,r)));
            cout<<res2+sumd[r]<<"\n";
        }
        else{
            int l,r;cin>>l>>r;
            cout<<Query(1,0,n,l-1,r-2,min(limit[r-1]-sumd[r-1],limit[r]-sumd[r]))+1<<"\n";
        }
    }
}

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
本文链接：https://www.cnblogs.com/cqbzly/p/17529965.html
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