【学习笔记】CF643F Bears and Juice

完了，感觉一上午做不出一道题来了。

大脑超载了。无论如何都只想到了从$i=1$入手这一种思路。手玩了一下发现答案就是$n+1$。

然后考虑$i=2$。（真的只能想到最笨的思路啊）发现就按$n+1$的大小分组即可，但是注意少了一个所以应该是按$n$大小为分组，那么答案就是$n^2+1$。方便起见先不考虑$p$的限制。

我们尝试来推一下通式。经验告诉我们这种题目都是有通式的，只是比较隐晦而已。这个通式算出来是$n^i+1$，看着就不是很对。

回过头去看样例，原来$p$有限制，那么自然而然的想到设计一个两维的$DP$状态，设$d{p}_{i,j}$表示有$i$天，$j$张床时最多的酒桶数目。唯一需要注意的是此时熊的数目是可以确定的，但是这个递推的式子需要仔细斟酌一下，仔细观察一下样例$3$会发现问题没有那么简单，换句话说一轮少掉的熊的数目可能不只$1$个，因此要换一个角度来转移。

我们之前接触过全集的剖分这个概念，用来解释这个转移是非常合适的。考虑我们得到的信息是哪些熊少掉了，一共有$U=2^{n-p+j}$种情况，对于每种情况能区分出来的桶的最大数量求和，就得到了正确的转移式：$d{p}_{i,j}={\sum }_{k\le j}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-p+j}{k}\right)d{p}_{i-1,j-k}$。注意这取的是上界，可以证明我们能构造方案将这个上界取到（？）。

注意这里要处理一下边界，不妨令$p=\min (p,n-1)$，这样就不用考虑熊全部死光的情况了。直接拿这个式子去转移，复杂度$O(p^{2}q)$，难泵。

但是注意到这个$dp$状态是二维的，很难不让人想到组合数。再瞪眼一看这个转移系数，这不就是$EGF$吗？简单来说，要算$d{p}_{i,p}$的值，将$e^{xi}$泰勒展开，有$e^{xi}=1+xi+\frac{x^2{i}^2}{2!}+...+\frac{x^n{i}^n}{n!}$，把系数拼凑一下得到$d{p}_{i,p}={\sum }_{j\ge n-p}\frac{n!}{j!}[x^{n-j}]e^{xi}={\sum }_{j\le p}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\right)i^j$。这里唯一需要提醒的就是求和的范围，非常容易被忽略。

上式可以直接$O(pq)$计算。唯一恼人的是这个组合数，因为$2^{32}$不是质数，不能直接算。但是把$2$的因子全部约掉然后用欧拉定理就好了，代码并不困难。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define db double
#define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define uint unsigned int
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int n,p,q,nums[155];
uint res,tran[155];
uint fpow(uint x,ll y=(1ll<<31)-1){
    uint z(1);
    for(;y;y>>=1){
        if(y&1)z=z*x;
        x=x*x;
    }
    return z;
}
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>p>>q,p=min(p,n-1);
    tran[0]=1;
    for(int i=1;i<=p;i++){
        int x=n-i+1,y=i;nums[i]=nums[i-1];
        while(x%2==0)x/=2,nums[i]++;
        while(y%2==0)y/=2,nums[i]--;
        assert(nums[i]>=0);
        tran[i]=tran[i-1]*x*fpow(y);
    }
    for(int i=1;i<=p;i++){
        tran[i]=tran[i]*(1ll<<nums[i]);
    }
    for(int i=1;i<=q;i++){
        uint tmp=0,mul=1;
        for(int j=0;j<=p;j++){
            tmp+=mul*tran[j];
            mul=mul*i;
        }
        res^=(tmp*i);
    }
    cout<<res;
}

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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