【学习笔记】【UR #19】前进四

不难看出问题就是求极长下降子序列的长度。有经典的$O(n{\log }^{2}n)$的线段树做法，但是无法通过。

这么优秀的算法你还想着优化它？

考虑扫描位置，然后用线段树维护每个询问。发现问题转化为每次对一段区间取$\min$，然后每个位置被改变的次数就是答案。

这个可以用$\text{Segment Tree Beats}$维护。复杂度$O(n\log n)$。

什么是$\text{Segment Tree Beats}$？具体来说，对于线段树上每个节点，考虑维护$mx[i]$表示节点$i$对应区间的最大值，$cx[i]$表示节点$i$对应区间的次大值，定义一个节点的势能函数为区间内不同的权值的数目。显然初始总势能为$n\log n$，又因为整个操作过程中没有让势能增大的操作，所以我们只需要在$O(1)$的时间内解决$O(1)$的势能即可。可以这样维护：

$1.1$ 如果$c\ge mx[i]$，那么返回；
$1.2$ 如果c$>cx[i]$，那么只有区间最大值会被修改，给这个点打上标记，然后返回；
$1.3$ 否则$cx[i]$和$mx[i]$都会变成$c$，这样势能至少减少$1$，所以复杂度是对的。

这样就做完了。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int n,Q,a[N],ans[N];
vector<pair<int,int>>ops[N];
vector<int>querys[N];
struct node{
    //fixed
    //s:区间最大值的修改次数
    int mx,cx,s;
}t[N<<2];
inline int Max(int x,int y){return x>y?x:y;}
void pushup(int p){
    t[p].mx=Max(t[p<<1].mx,t[p<<1|1].mx);
    t[p].cx=Max(t[p<<1].cx,t[p<<1|1].cx);
    if(t[p<<1].mx!=t[p].mx)t[p].cx=Max(t[p].cx,t[p<<1].mx);
    if(t[p<<1|1].mx!=t[p].mx)t[p].cx=Max(t[p].cx,t[p<<1|1].mx);
}
void pushdown(int p){
    if(t[p<<1].mx>t[p].mx){
        t[p<<1].s+=t[p].s;
        t[p<<1].mx=t[p].mx;
    }
    if(t[p<<1|1].mx>t[p].mx){
        t[p<<1|1].s+=t[p].s;
        t[p<<1|1].mx=t[p].mx;
    }
    t[p].s=0;
}
void modify(int p,int l,int r,int ql,int qr,int val){
    if(ql<=l&&r<=qr&&val>=t[p].mx)return;
    if(ql<=l&&r<=qr&&val>t[p].cx){
        t[p].mx=val,t[p].s++;
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;pushdown(p);
    if(ql<=mid)modify(p<<1,l,mid,ql,qr,val);
    if(mid<qr)modify(p<<1|1,mid+1,r,ql,qr,val);
    pushup(p);
}
inline int query(int p,int l,int r,int x){
    if(l==r)return t[p].s;
    int mid=l+r>>1;pushdown(p);
    return x<=mid?query(p<<1,l,mid,x):query(p<<1|1,mid+1,r,x);
}
inline int read(){
    int x=0;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9')c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9')x=x*10+c-'0',c=getchar();
    return x;
}
signed main(){
    n=read(),Q=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
    for(int i=1;i<=Q;i++){
        int type,x,v;
        type=read();
        if(type==1){
            x=read(),v=read();
            ops[x].pb({i,v});
        }
        else{
           x=read();
           querys[x].pb(i); 
        }
    }
    for(int i=1;i<=4*Q;i++)t[i].mx=inf,t[i].cx=-inf;
    for(int i=n;i>=1;i--){
        int lst=0,val=a[i];
        for(auto x:ops[i]){
            modify(1,1,Q,lst+1,x.fi,val);
            lst=x.fi,val=x.se;
        }if(lst+1<=Q)modify(1,1,Q,lst+1,Q,val);
        for(auto x:querys[i]){
            ans[x]=query(1,1,Q,x);
        }
    }
    for(int i=1;i<=Q;i++){
        if(ans[i])printf("%d\n",ans[i]);
    }
}

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本文作者：仰望星空的蚂蚁
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