SAM（后缀自动机）速通

1|0约定

记 $\mathrm{\Sigma }$ 为字符集，$|\mathrm{\Sigma }|$ 为字符集大小。

2|0定义 & 定理

SAM 是一个接受 $s$ 所有后缀的最小 DFA。

定义 $\mathrm{endpos}(t)$ 表示字符串 $t$ 在 $s$ 所有的结束位置（从 $0$ 开始标号），方便起见，有 $\mathrm{endpos}(t_0)$ 定义为 $\{-1,0,\dots ,|S|-1\}$。
我们将所有 $\mathrm{endpos}$ 相等的字符串划分至同一个等价类；

引理 1: 若字符串 $s$ 的两个子串 $u,v(|u|\le |v|)$ 的 $\mathrm{endpos}$ 相同，当且仅当 $u$ 为 $v$ 的后缀；

引理 2: 对于字符串 $s$ 的两个子串 $u,v(|u|\le |v|)$，满足

$$\{\begin{array}{ll}\mathrm{endpos}(v)\subseteq \mathrm{endpos}(u)& \text{if }u\text{ is a suffix of }v\\ \mathrm{endpos}(v)\cap \mathrm{endpos}(u)=\varnothing & \text{otherwise}\end{array}$$

引理 3: 一个状态的字符串的长度恰好唯一覆盖 $[\mathrm{minlen}(u),\mathrm{len}(u)]$，且长度短的字符串为长度长的字符串的后缀。

显然，SAM 由 $t_0$ 和每个等价类对应状态构成。

我们令后缀链接 $\mathrm{link}(u)$ 链接至最长的 $\mathrm{endpos}$ 不同的后缀所对应的等价类。

引理 4: 所有的后缀链接构成一颗以$t_0$ 为根的树（即为后缀树）。

引理 5: 对于 $t_0$ 以外的状态 $v$，有 $\mathrm{minlen}(v)=\mathrm{len}(\mathrm{link}(v))+1$。

引理 6: 任意状态 $v_0$ 顺着 $\mathrm{link}$ 遍历，总会到达 $t_0$。路径中我们可以得到互不相交的区间序列 $[\mathrm{minlen}(v_i),\mathrm{len}(v_i)]$，且并集为 $[0,\mathrm{len}(v_0)]$。

3|0算法

该算法为在线算法，且为保证空间复杂度，我们只保存 $\mathrm{len}$ 和 $\mathrm{link}$ 的值，而非 $\mathrm{endpos}$。
初始 SAM 只包含一个状态 $t_0$，编号为 $0$，并指定其 $\mathrm{len}=0,\mathrm{link}=-1$（$-1$ 为虚拟状态）。

3|1流程

• 令 $last$ 为添加字符 $c$ 前，整个字符串对应的状态（初始 $last=0$）。
• 创建新状态 $cur$，令 $\mathrm{len}(cur)=\mathrm{len}(last)+1$。
• 从状态 $last$ 开始，不停向后缀链接遍历直至其存在到字符 $c$ 的转移或已到达虚拟结点 $-1$，记该状态为 $p$。将遍历中的状态（除了 $p$）向 $cur$ 添加转移。
• 若 $p=-1$，令 $\mathrm{link}(cur)=0$ 并退出。
• 令 $p$ 通过 $c$ 转移得到的状态为 $q$，分两种情况讨论：
  • 若 $\mathrm{len}(p)+1=\mathrm{len}(q)$，令 $\mathrm{link}(cur)=q$ 并退出；
  • 否则，我们创建新状态 $clone$，并令其复制 $q$ 的状态，再令 $\mathrm{len}(clone)=\mathrm{len}(p)+1,\mathrm{link}(cur)=\mathrm{link}(q)=clone$。最终我们通过后缀链接将 $p$ 往回走，只要存在 $p\to q$，就将转移重定向至 $clone$。
• 以上三种情况，在退出后令 $last=cur$。

3|2证明

1|0正确性证明

这是速通，有什么证明。

1|0复杂度证明

复杂度线性，不予证明。

1|0状态数证明

对于一个长度为 $n$ 的字符串，状态数不超过 $2n-1(n\le 2)$。易证。

1|0转移数证明

对于一个长度为 $n$ 的字符串，转移数不超过 $4n-3(n\le 3)$。不予证明。

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