Xor Tree - 一种小巧高效的存树方式

该方法局限性较强，只在常数（不用递归）与码量上优于普通存图法，可以当看乐子。

无法树剖，唐完了。

0|1部分信息求解

我们定义 $d e g_{u}$ 表示节点 $u$ 的度数， $x r_{u}$ 表示 $u$ 相邻的节点编号异或值。这里，我们令根节点的 $d e g$ 加一，以保证其根的地位。
我们从小到大 ( $1 \sim n$ ) 遍历 $u$ 。当 $d e g_{u} = 1$ 时，我们认为 $x r_{u}$ 即为 $u$ 的父亲节点，记作 $f$ 。这时，我们将 $d e g_{f} \leftarrow d e g_{f} - 1, d e g_{u} \leftarrow 0, x r_{f} \leftarrow x r_{f} xor u$ 。若 $d e g_{f} = 1$ ，则向上遍历。代码如下：

++deg[1];

for (int i = 1; i <= n; ++i) {
	for (int x = i, y; deg[x] == 1; x = y) {
		y = xr[x];
		--deg[y], deg[x] = 1, xr[y] ^= x;
	}
}

结束后的 $x r$ 即为树中的父亲数组。容易发现，很多信息也可以在遍历的过程中求解，如子树大小 $s i z_{u}$ ，最深深度 $m x d e p_{u}$ 。也存在无法遍历时求解的，如节点深度 $d e p_{u}$ ，这类信息需要父亲节点的信息，可以倒着节点遍历顺序处理。

0|2dfs 序的求解

我们定义 $d f n_{u}$ 表示 $u$ 节点的 dfs 序， $d i f_{u}$ 表示 $u$ 节点与父节点 dfs 序的差值，即 $d f n_{f a_{u}} - d f n_{u}$ 。
这里还需要维护一个信息： $u$ 节点子树大小 $s i z_{u}$ 。
在上述删除 $u$ 节点的过程中，我们做以下操作：

$s i z_{u} \leftarrow s i z_{u} + 1$
$d i f_{u} \leftarrow s i z_{x r_{u}} + 1$
$s i z_{x r_{u}} \leftarrow s i z_{x r_{u}} + s i z_{u}$
对于节点 $u$ ，其所有祖先 $d i f$ 的和为其 $d f n$ ，按上述遍历顺序反向遍历即可。

0|3对边信息的解读

有些题目需要获得连向父亲的边，可以类似 $x r$ 记录边编号的异或值，相似处理即可。

0|4效率比较

以【模板】最近公共祖先（LCA）为例，图表如下：

实现方法	耗时	内存	链接
邻接表	2.65s	121.33MB	here
链式前向星	1.82s	102.60MB	here
Xor Tree	1.79s	86.48MB	here

（这道题体现不出它的优势。。。）

1|0参考链接

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