「CF1854D」Michael and Hotel 题解

逆天交互题、、、我只能说阈值分治赛高！！！

1|0Description

有一个有 $n$ 个点的内向基环树森林，zlsim 位于 $1$ 号节点，请你通过以下操作求出哪些节点（包括 ）可以通过从这两点开始沿边行走若干步汇至一点。

• 给出两个参数 $u,k$ 和点集 $S$，询问是否能够通过从 $u$ 出发走 $k$ 步达到任意 $S$ 中的节点。
  你最多可以询问 $2000$ 次。

2|0Solution

十分严谨的推导过程：

• 一个节点走足够多步一定可以走到环；
• 只要走到的环是 $1$ 号节点所属，就满足条件。
  据此，问题转化为了求 $1$ 号节点最后到达的环有哪些节点（不关注次序）。
  我们再理一下我们可以使用的操作组（不一定全）：

1. 使用 $\log n$ 次询问找到 $u$ 出发走 $k$ 步到达的节点；
2. 使用 $n$ 次查询找到环上连续 $k$ 个点的前面 $k$ 个点。
   容易发现，操作组 $2$ 是一个倍增的形式，但倍增的前几次操作损耗太大，可以使用操作 $1$ 来解决，形成一个阈值分治的形式。由于最后我们还要询问 $n$ 次，令进行操作组 $1$ $k$ 次，有询问次数 $k\log n+n\log \frac{n}{k}+n$。易知当 $k\log k=n$ 时，原式存在最小值 $n+2k\log n$。当 $n=500,k=80$ 时，大概为 $1935$。可以通过此题。

3|0Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

using ci = const int;

using u32 = uint32_t;
using i64 =  int64_t;
using u64 = uint64_t;

template<class T> inline void Max(T &x, const T &y) { if (x < y) x = y; }
template<class T> inline void Min(T &x, const T &y) { if (y < x) x = y; }

const int N = 505;
const int K = 80;

int n, circle_begin;
set<int> circle;

int get_val() {
	bool val;
	cin >> val;
	return val;
}

bool ask1(int u, int k, int l, int r) {
	cout << "? " << u << " " << k << " " << r - l + 1 << " ";
	for (int i = l; i <= r; ++i) cout << i << " ";
	cout << endl;
	return get_val();
}

bool ask2(int u, int k) {
	cout << "? " << u << " " << k << " " << circle.size() << " ";
	for (int i : circle) cout << i << " ";
	cout << endl;
	return get_val();
}

int u_k(int u, int k) {
	int l = 1, r = n, mid;
	while (l < r) {
		mid = (l + r) >> 1;
		if (ask1(u, k, l, mid)) r = mid;
		else l = mid + 1;
	}
	return l;
}

void output() {
	vector<int> ans;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		if (circle.count(i) or ask2(i, n)) ans.push_back(i);
	}
	cout << "! " << ans.size() << " ";
	for (int i : ans) cout << i << " ";
	cout << endl;
	exit(0);
}

int main() {
	ios_base::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0); cout.tie(0);

	cin >> n;
	int p = circle_begin = u_k(1, n);

	circle.insert(p);

	for (int i = 2; i <= K; ++i) {
		p = u_k(p, 1);
		if (p == circle_begin) output();
		circle.insert(p);
	}

	int now_k = K;
	while (1) {
		vector<int> ls;
		for (int i = 1; i <= n; ++i) {
			if (!circle.count(i) and ask2(i, now_k)) ls.push_back(i);
		}
		for (int i : ls) circle.insert(i);
		if (ls.size() < now_k) output();
		now_k <<= 1;
	}

	return 0;
}

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