万能欧几里得算法

该算法用于解决以下模型:
$$F(P,R,Q,n,X,Y)=\prod _{i=0}^n{Y}^{f(i)-f(i-1)}X$$

这里 $X,Y$ 之间的乘法运算是自己定义的, 只需要满足结合律即可. 其中 $f(x)=\lfloor {\displaystyle \frac{xP+R}{Q}}\rfloor$, $P,R\in N$, $Q\in Z^{+}$. 特别的，$f(-1)=0$.

不难发现所有的类欧几里得都可以规约到以上模型.

以下把连乘展开构成的字符串称作 $S$.
分类讨论. 当 $n=0$ 时可以直接求解. 接下来考虑 $n\ge 1$.

当 $R<Q$ 时, $S$ 的开头一定是 $X$;
当$R\ge Q$ 时, 我们可以将 $S$ 开头的 $Y$ 全部提出来，即
$$F(P,R,Q,n,X,Y)=Y^{\lfloor \frac{R}{Q}\rfloor }F(P,RmodQ,Q,n,X,Y)$$
接下来我们钦定 $R<Q$.

当 $P\ge Q$ 时, 相邻的两个 $X$ 之间一定会有固定的 $\lfloor {\displaystyle \frac{P}{Q}}\rfloor$ 个 $Y$, 于是我们直接把这些 $Y$ 接在 $X$ 的前面. 可以得到
$$F(P,R,Q,n,X,Y)=XF(PmodQ,R+PmodQ,Q,n-1,Y^{\lfloor \frac{P}{Q}\rfloor }X,Y)$$

为了可以进行辗转相除, 我们需要将原式进行一些变换来使得 $P,Q$ 的地位交换.
特别的, 我们发现 $f(i)$ 表示的是编号为 $i$ 的 $X$ 之前的 $Y$ 的数量, 同样的, 我们定义 $g(i)$ 表示编号为 $i$ 的 $Y$ 之前的 $X$ 的数量. 考虑 $g(i)$ 的计算.
$$\begin{array}{rl}g(i)& =\sum _{j\ge 0}[f(j)\le i]\\ & =\sum _{j\ge 0}[\lfloor {\displaystyle \frac{jP+R}{Q}}\rfloor <i+1]\\ & =\sum _{j\ge 0}[{\displaystyle \frac{jP+R}{Q}}<i+1]\\ & =\sum _{j\ge 0}[jP\le iQ+Q-R-1]\\ & =\sum _{j\ge 0}[j\le \lfloor {\displaystyle \frac{iQ+Q-R-1}{P}}\rfloor ]\\ & =\lfloor {\displaystyle \frac{iQ+Q+P-R-1}{P}}\rfloor \end{array}$$

令 $t=\lfloor {\displaystyle \frac{nP+R}{Q}}\rfloor$, 容易得出
$$F(P,R,Q,n,X,Y)=F(Q,Q+P-R-1,P,t-1,Y,X)X^{n-\lfloor \frac{Qt-R-1}{P}\rfloor }$$
$t=0$ 时需要特判. 时间复杂度 $\mathcal{O}(\log n)$.

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