闵可夫斯基和（内含证明）

1|0闵可夫斯基和

1|1定义

两个点集的闵可夫斯基和 $A+B$ 定义为 $\{a+b|a\in A,b\in B\}$。

1|2性质

1. 交换律：显然，易证。
2. 对于两个凸包 $A,B$，则 $A+B$ 为凸包。

1|0性质二证明

引理 1：对于一个凸图形，图形内任意两点之间的连线都在图形内部，反之亦然（即为充要条件）。

引理 2：（等和线）对于两个平面向量 $\overrightarrow{A},\overrightarrow{B}$ 和一个实数 $t$，总有 $t\overrightarrow{A}+(1-t)\overrightarrow{B}$ 的终点在直线 $AB$ 上。明显的，若 $t\in [0,1]$，其会在线段 $AB$ 上。

由于 $A,B$ 均为凸包，则有

​对于任意 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\in A,\overrightarrow{c},\overrightarrow{d}\in B,t\in [0,1]$，$t\overrightarrow{a}+(1-t)\overrightarrow{b}\in A,t\overrightarrow{c}+(1-t)\overrightarrow{d}\in B$。

因此， $t\overrightarrow{a}+(1-t)\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}+(1-t)\overrightarrow{d}\in A+B$。

因式分解，得 $t(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})+(1-t)(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d})\in A+B$。

显然，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$ 可以表示 $A+B$ 中任意一点（从定义出发），同理 $\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}$。所以 $A+B$ 为凸图形，即凸包。

1|3求法

易证（即不想证） $A+B$ 的所有端点都是由 $A$ 的端点和 $B$ 的端点运算构成的，于是我们得到了一个 $\mathcal{O}(|A||B|)$ 的算法。

又（不）易证 $A+B$ 的所有边都是由 $A,B$ 中某一凸包端点和另一凸包的一条边构成，于是所有的边都可以由 $A,B$ 中的边平移得到，又由于其凸性，可以直接按斜率排序（即极坐标排序），可以得到一个 $\mathcal{O}((|A|+|B|)\log (|A|+|B|))$ 的算法，用归并排序，可以优化到 $\mathcal{O}(|A|+|B|)$。

对于如上不易证内容的证明：

1. 若是存在 $\overrightarrow{a}\in A,\overrightarrow{b}\in B$ 使得 $\overrightarrow{a}$ 不在 $A$ 的边上或 $\overrightarrow{b}$ 不在 $B$ 的边上（后假设不在 $A$ 的边上），且 $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ 在 $A+B$ 的边上，则不可能对于任意方向的单位向量 $\overrightarrow{e}$，存在 $\zeta >0$ 满足 $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\zeta \overrightarrow{e}$ 都在 $A+B$ 中。但很明显是存在 $\zeta >0$ 满足 $\overrightarrow{a}+\zeta \overrightarrow{e}\in A+B$，即存在 $\zeta >0$ 满足 $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\zeta \overrightarrow{e}$ 都在 $A+B$ 中，矛盾。所以至少是由 $A,B$ 的边所构成。
2. 对于 $A,B$ 的两条边，他们所构成的图形是平行四边形，而可能对 $A+B$ 的边有影响的只有平行四边形的边。至此，证毕。

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