自然溢出哈希 の hack 之术

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今天是个好日子啊，写一个哈希都被卡啊~~~

万恶之源：「CF580E」Kefa and Watch，一道抽象的卡哈希的哈希题。
但观察发现，无论我怎么修改我的基数(base)，我都无法通过 Text 75，于是便研究了一下，学到了如下的 Hack 方式：

• 对于 base 为偶数的：
  • 只需要有连续一段相同的字符其长度大于 $64$，哈希值就会_归零
• 对于 base 为奇数的：
  • 对于一个只包含 $a,b$ 的字符串 $s$，我们定义 $\bar{s}$ 为将 $s$ 中的 $a$ 变为 $b$，$b$ 变为 $a$ 的串。
  • 令 $f_0=\mathtt{\text{"a"}}$，$f_i=f_{i-1}+\overline{f_{i-1}}$。再定义 $\mathrm{Hash}(s)$ 表示为 $s$ 的哈希值，则有 $\mathrm{Hash}(f_i)=\mathrm{Hash}(f_{i-1})\times {\mathrm{base}}^{2^{i-1}}+\mathrm{Hash}(\overline{f_{i-1}})$，而 $\mathrm{Hash}(\overline{f_i})$ 与前式对称，就不再赘述。
  • 记 $g_i=\mathrm{Hash}(f_i)-\mathrm{Hash}(\overline{f_i})$，则有 $g_i=g_{i-1}\times ({\mathrm{base}}^{2^{i-1}}-1)$。
  • 易证 $2^i|{\mathrm{base}}^{2^{\mathrm{i}-1}}-1$，所以 $2^{i\times (i+1)}|f_i$，对于 $i\ge 11$，$\mathrm{Hash}(f_i)=\mathrm{Hash}(\overline{f_i})$。
  • 所以构造一个长度为 $4096$ 的字符串即可。

参考文献：

1. 自然溢出哈希 hack 方法

对于上述易证的解释：（$LATEX$ 公式太难打，就直接上手写）

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