关于 n+1 个点可以唯一确定一个 n 次函数的证明

设原函数 $f(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$。

定义一个范德蒙矩阵 $V$ 为:

$$V=\left[\begin{array}{ccccc}1& x_0& x_0^2& \cdots & x_0^n\\ 1& x_1& x_1^2& \cdots & x_1^n\\ 1& x_2& x_2^2& \cdots & x_2^n\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& x_n& x_n^2& \cdots & x_n^n\end{array}\right]$$

设我们求出的 $y$ 坐标为 $Y$，则

$$\begin{array}{rl}& V\times a=Y\\ & a=V^{-1}\times Y\end{array}$$

即证明 $V$ 存在逆矩阵 $V^{-1}$，也就是 $detV\ne 0$。
又因为 $detV=\prod _{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)$，所以它恒不等于 $0$。
证毕。

(至于它的行列式等于那个式子的证明，先咕一会儿。。。)

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