一、01背包问题
1、概念
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量(即费用)为w[i],价值为c[i]。求解将哪些物品装入
背包可以使这些物品的重量不超过背包的容积,且使价值总和最大。
01背包问题容易和贪心背包问题混淆,用一个形象的比喻来说,贪心背包装的是散装食品,而01背包装
的是袋装食品。
2、习题:采药
- 总时间限制:
- 1000ms
- 内存限制:
- 65536kB
- 描述
- 辰辰是个很有潜能、天资聪颖的孩子,他的梦想是称为世界上最伟大的医师。为此,他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质,给他出了一个难题。医师把他带到个到处都是草药的山洞里对他说:“孩子,这个山洞里有一些不同的草药,采每一株都需要一些时间,每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间,在这段时间里,你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子,你应该可以让采到的草药的总价值最大。”
如果你是辰辰,你能完成这个任务吗? - 输入
- 输入的第一行有两个整数T(1 <= T <= 1000)和M(1 <= M <= 100),T代表总共能够用来采药的时间,M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到100之间(包括1和100)的的整数,分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。
- 输出
- 输出只包括一行,这一行只包含一个整数,表示在规定的时间内,可以采到的草药的最大总价值。
- 样例输入
-
70 3 71 100 69 1 1 2
- 样例输出
-
3
- 3、习题分析
- 如果f[i][v]表示前i件物品(部分或全部)放入一个剩余容量为v的背包可以获得的最大价值,状态转移方程
- 式为:f[i][v]=max(f[i-1][v],f[i-1][v-w[i]]+c[i]);
- 如果再进一步分析,就可以对空间进行优化,直接转换成一维数组,
- f[v]=max(f[v],f[v-w[i]]+c[i]);
- 代码如下:
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int f[1005],w[1005],c[1005];
int main()
{
int n,v,i,j;
scanf("%d%d",&v,&n);
for(i=1;i<=n;i++){
scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);
}
for(i=1;i<=n;i++){
for(j=v;j>=w[i];j--){
f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);
}
}
printf("%d",f[v]);
}
二、完全背包问题1、概念有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量(即费用)为w[i],价值为c[i]。每件物品都有无限件可用。求解将哪些物品装入背包可以使这些物品的重量不超过背包的容积,且使价值总和最大。2、状态转移方程跟01背包差不多,但是循环的条件要发生改变。01背包:
for(i=1;i<=n;i++){
for(j=v;j>=w[i];j--){
f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);
}
}
完全背包:
for(i=1;i<=n;i++){
for(j=w[i];j<=v;j++){
f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);
}
}
为什么换了一个顺序,就会有不同的结果呢?假设有一个价值为3,重量为1的物品和一个容量为3的背包。01背包的运行过程:1:f[1]=0f[2]=0 f[3]=32:f[1]=0f[2]=3 f[3]=33:f[1]=3f[2]=3
f[3]=3完全背包的运行过程:1:f[1]=3f[2]=0
f[3]=02:f[1]=3f[2]=6
f[3]=03:f[1]=3f[2]=6
f[3]=9因为状态转移方程中的“f[j-w[i]]+c[i]”在后者中具有了叠加的效果,所以会得出不同的答案,我们可以在程序调试中观察到这一现象。三、多重背包问题1、概念有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量(即费用)为w[i],价值为c[i]。每件物品都有 t[i]可用。求解将哪些物品装入背包可以使这些物品的重量不超过背包的容积,且使价值总和最大。2、解决方法(1)、可以在完全背包的第二个循环条件中加一句判断次数的语句(也可以用三个循环)(2)、进行2进制优化,转换成01背包
四、混合背包问题1、概念就是把01背包、完全背包和多重背包混合起来2、解决方法把完全背包 与 01背包、多重背包分开计算,综合运用上面的方法。