一、01背包问题

1、概念

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量（即费用）为w[i]，价值为c[i]。求解将哪些物品装入

背包可以使这些物品的重量不超过背包的容积，且使价值总和最大。

01背包问题容易和贪心背包问题混淆，用一个形象的比喻来说，贪心背包装的是散装食品，而01背包装

的是袋装食品。


2、习题：采药


总时间限制: 
1000ms 
内存限制: 
65536kB
描述
辰辰是个很有潜能、天资聪颖的孩子，他的梦想是称为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？
输入
输入的第一行有两个整数T（1 <= T <= 1000）和M（1 <= M <= 100），T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包括1和100）的的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。
输出
输出只包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。
样例输入
70 3
71 100
69 1
1 2
样例输出
3
3、习题分析
如果f[i][v]表示前i件物品(部分或全部)放入一个剩余容量为v的背包可以获得的最大价值，状态转移方程
式为：f[i][v]=max(f[i-1][v],f[i-1][v-w[i]]+c[i]);
如果再进一步分析，就可以对空间进行优化，直接转换成一维数组，
         f[v]=max(f[v],f[v-w[i]]+c[i]);
代码如下：
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int f[1005],w[1005],c[1005];
int main()
{
	int n,v,i,j;
	scanf("%d%d",&v,&n);
	for(i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);
	}
	for(i=1;i<=n;i++){
		for(j=v;j>=w[i];j--){
			f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);
		}
	}
	printf("%d",f[v]);
}

二、完全背包问题1、概念有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量（即费用）为w[i]，价值为c[i]。每件物品都有无限件可用。求解将哪些物品装入背包可以使这些物品的重量不超过背包的容积，且使价值总和最大。2、状态转移方程跟01背包差不多，但是循环的条件要发生改变。01背包： 
	for(i=1;i<=n;i++){
		for(j=v;j>=w[i];j--){
			f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);
		}
	}
完全背包： 
	for(i=1;i<=n;i++){
		for(j=w[i];j<=v;j++){
			f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);
		}
	}
为什么换了一个顺序，就会有不同的结果呢？假设有一个价值为3,重量为1的物品和一个容量为3的背包。01背包的运行过程：1:f[1]=0f[2]=0 f[3]=32:f[1]=0f[2]=3 f[3]=33:f[1]=3f[2]=3 f[3]=3完全背包的运行过程：1：f[1]=3f[2]=0 f[3]=02:f[1]=3f[2]=6 f[3]=03:f[1]=3f[2]=6 f[3]=9因为状态转移方程中的“f[j-w[i]]+c[i]”在后者中具有了叠加的效果，所以会得出不同的答案，我们可以在程序调试中观察到这一现象。
三、多重背包问题1、概念有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量（即费用）为w[i]，价值为c[i]。每件物品都有 t[i]可用。求解将哪些物品装入背包可以使这些物品的重量不超过背包的容积，且使价值总和最大。2、解决方法（1）、可以在完全背包的第二个循环条件中加一句判断次数的语句（也可以用三个循环）（2）、进行2进制优化，转换成01背包
四、混合背包问题1、概念就是把01背包、完全背包和多重背包混合起来2、解决方法把完全背包 与 01背包、多重背包分开计算，综合运用上面的方法。