莫比乌斯反演的基本思想

考虑求函数f(x)，我们可以构造一个比较好求函数g(x)使g(x)=\sum_{d|x}^{x} f(d)，然后用g(x)来求f(x)

怎么用g(x)来表示f(x)呢？

稍微列举一下g(x)：

g(1)=f(1)

g(2)=f(1)+f(2)

g(3)=f(1)+f(3)

g(4)=f(1)+f(2)+f(4)

g(5)=f(1)+f(5)

g(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)

我们经过一番拼凑发现：

f(1)=g(1)

f(2)=(f(1)+f(2))-f(1)=g(2)-g(1)

f(3)=g(3)-g(1)

f(4)=(f(1)+f(2)+f(4))-(f(1)+f(2))=g(4)-g(2)

f(5)=g(5)-g(1)

f(6)=(f(1)+f(2)+f(3)+f(6))-(f(1)+f(3))-(f(1)+f(2))+f(1)=g(6)-g(3)-g(2)+g(1)

在用g(x)表示f(x)时，我们进行了一些加加减减的操作。

感觉有点像容斥原理。。。

于是我们想要求出这个容斥原理的系数：

但是用瞪眼法观察了很久都一无所获

 

所以我们来理性分析一下：

对于每一个g(n)，它都包含了它的  所有因子x  的f(x)之和，

但是我们只需要f(n)

所以我们需要减掉那些无关的f(x)

如:g(8)-g(4)=f(8)+f(4)+f(2)+f(1)-f(4)-f(2)-f(1) =f(8)

于是就出现了一个奇妙的想法：把n的所有因子的系数补全！

f(6)=1*g(6)+(-1)*g(3)+(-1)*g(2)+1*g(1)

f(8)=1*g(8)+(-1)*g(4)+0*g(2)+0*g(1)

f(12)=1*g(12)+(-1)*g(6)+(-1)*g(4)+0*g(3)+1*g(2)+0*g(1)

然后继续用瞪眼法分析。。。

 

发现g(x)前面的系数与x无关（因为g(1)前面的系数一会儿是1，一会儿是0）

g(x)前面的系数好像是与n/x有关

例如当n/x=1时，g(x)前面的系数总是1

当n/x=2时，g(x)前面的系数总是-1

当n/x=3时，g(x)前面的系数也总是-1

似乎对于每一个n/x，g(x)前的系数都是固定的。

所以我们猜想这个系数是一个关于n/x的函数。

 

而这个函数就是大名鼎鼎的莫比乌斯函数\mu！！！

 

既然容斥系数已经确定了，那么莫比乌斯定理也可以很轻松地表示出来了

当一个函数g(x)满足

g(n)=\sum_{x|n}^{n}f(x)

那么

f(n)=\sum_{x|n}^{n}\mu(\frac{n}{x})\cdot g(x)

这个公式叫莫比乌斯约数反演

这个定理还有另一种形式（当然叫莫比乌斯倍数反演啦）（其实一般都用这种形式）

当一个函数g(x)满足

g(n)=\sum_{n|x}^{N}f(x)

则

f(n)=\sum_{n|x}^{N}\mu(x/n)\cdot g(x)

 

有了这两个公式，就可以进行一些神奇的操作啦

比如说给定n,m，求：

f(x)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==x](n<=m)

其中[gcd(i,j)==x]表示当gcd(i,j)=x时返回1，否则返回0

要求时间复杂度为O(n)

 

 

 

 

 

 

 

按照上面的第二个公式，我们构造一个函数g(x)满足：

g(x)=\sum_{x|d}^{n}f(d)

反演一波：

f(x)=\sum_{x|d}^{n}\mu(d/x)\cdot g(d)

 

仿佛并没有什么用的样子。。。

 

那先来看一下“所谓”好求的g(x)

g(x)=\sum_{x|d}^{n} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==d]

可以发现gcd(i,j)是x的倍数时（因为d只能是x的倍数，所以gcd(i,j)也是x的倍数），才会对g(x)造成贡献

所以，g(x)可以简化为

g(x)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[x|gcd(i,j)]

我们设g=gcd(i,j)，i=g*a，j=g*b

我们在改变a，b的值时gcd(i,j)也会改变但始终是x的倍数（因为i,j至少都有一个因子g）

 

所以，我们只需要取完a，b的所有的值就可以求出g(x)啦

很明显a能取的值有\left \lfloor \frac{n}{x} \right \rfloor种，b能取的值有\left \lfloor \frac{m}{x} \right \rfloor种

所以g(x)=\left \lfloor \frac{n}{x} \right \rfloor\cdot \left \lfloor \frac{m}{x} \right \rfloor，这玩意大大地降低了时间复杂度

 

再把g(x)带进去

f(x)=\sum_{x|d}^{n}\mu (d/x)\cdot g(d)

=\sum_{x|d}^{n}\mu (d/x)\cdot \left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor\cdot \left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor

很明显可以O(n)做了

 

其实，莫比乌斯反演的思想，

就是把一个很复杂的函数f(x)，

转换为另一个很好求的函数g(x)

然后用g(x)来表示f(x)，

从而降低时间复杂度

 

 

关于莫比乌斯反演的几个技巧

1、分块优化（也叫数论分块、整除分块）

例如求：\sum_{i=1}^{n}f(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)

由于\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor只有\sqrt{n}种取值，

如：n=8

     i=1,2,3,4,5,6,7,8

\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor=8,4,2,2,1,1,1,1

于是我们枚举这\sqrt{n}种取值（从枚举定义域转到枚举值域也是一种重要思想），

对于每一种取值，只会有一个对应的f值

所以

last=n/(n/i); ans+=f(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)*(last-(i-1));i=last+1

i表示该段取值的起始点，last表示段取值的终点。

 

再来一个复杂一点的：

f(x)=\sum_{x|d}^{n}\mu (d/x)\cdot \left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor\cdot \left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor

d的取值只有\left \lfloor \frac{n}{x} \right \rfloor种，设i=d/x，则d=i*x

=\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{x} \right \rfloor}\mu (i)\cdot \left \lfloor \frac{n}{i*x} \right \rfloor\cdot \left \lfloor \frac{m}{i*x} \right \rfloor

=\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{x} \right \rfloor}\mu (i)\cdot \left \lfloor \frac{\left \lfloor \frac{n}{x} \right \rfloor}{i} \right \rfloor\cdot \left \lfloor \frac{\left \lfloor \frac{m}{x} \right \rfloor}{i} \right \rfloor

last=min(n/(n/i),m/(m/i));

ans+=\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor\cdot\left \lfloor \frac{m}{i} \right \rfloor\cdot (\mu[last]-\mu[i-1]));（其中\mu需要处理前缀和）

i=last+1

代码：（其中​​​​mu需要处理前缀和）

long long solve(int n,int m,int k)
{
	if(n>m) swap(n,m);
	if(!n||!m||!k) return 0;
	n/=k;m/=k;
	LL ans=0;
	int last,i;
	for(i=1;i<=n;i=last+1){
		last=min(n/(n/i),m/(m/i));
		ans=1ll*ans+1ll*(n/i)*(m/i)*(mu[last]-mu[i-1]);
	}
	return ans;
}

 

 

2、线性筛积性函数

实际上，类似于找规律（当然也可以硬推式子），只要你记住

每一个数只会被它的最小质因子筛掉

然后就可以找规律了。。。

有时候可以存一下必要的信息

线筛mu：

void shai()
{
	mu[1]=1;vis[1]=1;
	int i,j;
	for(i=2;i<=N;i++){
		if(!vis[i]){
			prime[++tot]=i;
			mu[i]=-1;
		}
		for(j=1;j<=tot;j++){
			LL tmp=1ll*i*prime[j];
			if(tmp>N) break;
			vis[tmp]=1;
			if(i%prime[j]==0){
				mu[tmp]=0;
				break;
			}
			else mu[tmp]=-mu[i];
		}
	}
}

线筛phi：

void shai()
{
	vis[1]=1;phi[1]=1;
	int i,j;
	for(i=2;i<=N;i++){
		if(!vis[i]){
			prime[++tot]=i;
			phi[i]=1ll*i-1ll;
		}
		for(j=1;j<=tot;j++){
			LL tmp=1ll*i*prime[j];
			if(tmp>=N) break;
			vis[tmp]=1;
			if(i%prime[j]==0){
				phi[tmp]=1ll*phi[i]*prime[j];
				break;
			}
			else phi[tmp]=1ll*phi[i]*(prime[j]-1);
		}
	}
}

 

。。。。。。（还有很多筛子）

 

3、莫比乌斯反演的套路式

\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}f(gcd(i,j))=\sum_{T=1}^{n}\left \lfloor \frac{n}{T} \right \rfloor\cdot \left \lfloor \frac{m}{T} \right \rfloor\cdot \sum_{d|T}^{n}f(d)\cdot \mu (\frac{T}{d})（省略中间推导）

\sum_{T=1}^{n}\left \lfloor \frac{n}{T} \right \rfloor\cdot \left \lfloor \frac{m}{T} \right \rfloor用分块

\sum_{d|T}^{n}f(d)\cdot \mu (\frac{T}{d})用线筛（或乱搞(只要时间复杂度允许)），求前缀和